Aufgabe 4331
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Boule - Aufgabe B_444
Boule ist eine Sportart, bei der Kugeln geworfen werden. Ziel ist es, mit den eigenen Kugeln möglichst nah an eine Zielkugel zu gelangen.
Teil b
Für eine genauere Analyse eines Boule-Spiels wird mithilfe einer Drohne ein Luftbild aufgenommen.
Bild
- A = (2 | 10) ... Auflagepunkt der ersten Kugel
- B = (17 | 6) ... Auflagepunkt der zweiten Kugel
- Z = (4 | 1) ... Auflagepunkt der Zielkugel
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Lange der Strecke BZ.
[1 Punkt]
Während des Spiels bewegt sich die erste Kugel entlang der Strecke AB 3 cm in Richtung B.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie die Koordinaten der neuen Position des Auflagepunkts der ersten Kugel.
[2 Punkte]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir berechnen den Vektor von B nach Z und bilden dann dessen Betrag
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {0B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17}\\ 6 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {0Z} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {BZ} = \overrightarrow {0Z} - \overrightarrow {0B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 17}\\ {1 - 6} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 13}\\ { - 5} \end{array}} \right)\\ \left| {\overrightarrow {BZ} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \sqrt {194} \approx 13,928 \end{array}\)
→ Die Länge der Strecke BZ beträgt rund 13,9 cm.
2. Teilaufgabe:
Zuerst ermitteln wir den Vektor AB, in dessen Richtung sich die 1. Kugel um 3cm bewegen soll. Dann ermitteln wir einen Skalierungsfaktor Lambda so, dass \(\left| {\lambda \cdot \overrightarrow {AB} } \right| = 3{\rm{cm}}\)
\(\begin{array}{l} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ {10} \end{array}} \right)\\ B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17}\\ 6 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17 - 2}\\ {6 - 10} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15}\\ { - 4} \end{array}} \right)\\ \\ \left| {\lambda \cdot \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {15 \cdot \lambda } \right)}^2} + {{\left( { - 4 \cdot \lambda } \right)}^2}} = 3\\ \lambda = \dfrac{3}{{\sqrt {241} }} \approx 0,19325\\ \\ {A_{{\rm{neu}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ {10} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15 \cdot \dfrac{3}{{\sqrt {241} }}}\\ { - 4 \cdot \dfrac{3}{{\sqrt {241} }}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + 2,898}\\ {10 - 0,773} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4,898}\\ {9,227} \end{array}} \right) \end{array}\)
→ Der neue Auflagepunkt der ersten Kugel hat die gerundet Koordinaten (4,9 | 9,2).
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Länge der Strecke BZ beträgt rund 13,9 cm.
2. Teilaufgabe:
Der neue Auflagepunkt der ersten Kugel hat die gerundet Koordinaten (4,9 | 9,2).
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x B1: für die richtige Berechnung der Lange der Strecke BZ
2. Teilaufgabe:
1 x A: für den richtigen Ansatz mithilfe des Einheitsvektors
1 x B2: für die richtige Berechnung der Koordinaten