Aufgabe 4116

1. Teilaufgabe:

1. Variante:

Lösung mittels CAS Ansicht in GeoGebra:

Syntax: Zinssatz[ <Anzahl der Perioden>, <Zahlung>, <Barwert>, <Endwert (optional)>, <Fälligkeit (optional)>, <Schätzung (optional)> ]

Zinssatz(30,38100,-80000) liefert: q=0,0247601859

dabei haben wir berücksichtigt, dass 1 Jahr aus 2 Semestern bzw. 15 Jahre aus 30 Semestern bestehen

2. Variante: 

Wir benötigen die Formel für den Barwert einer Rente mit nachschüssigen Raten. Ein Blick in die Formelsammlung liefert:
\({B_{nachsch}} = R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{n^n}}}\)

in diese Formel setzen wir wie folgt ein:

\(\eqalign{ & {B_{nasch}} = 80.000 \cr & R = 38.100 \cr & n = 2 \cdot 15 = 30 \cr} \)

\(\eqalign{ & 800000 = 38100 \cdot \dfrac{{{q_2}^{30} - 1}}{{{q_2} - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{q_2}^{30}}} \cr & \dfrac{{800000}}{{38100}} = \dfrac{{\left( {{q_2}^{30} - 1} \right) \cdot 1}}{{\left( {{q_2} - 1} \right) \cdot {q_2}^{30}}} = \dfrac{{{q_2}^{30} - 1}}{{{q_2}^{31} - {q_2}^{30}}} \cr & \dfrac{{8000}}{{381}} \cdot \left( {{q_2}^{31} - {q_2}^{30}} \right) = {q_2}^{30} - 1 \cr & \dfrac{{8000}}{{381}} \cdot {q_2}^{31} - \dfrac{{8000}}{{381}} \cdot {q_2}^{30} = {q_2}^{30} - 1 \cr & \dfrac{{8000}}{{381}} \cdot {q_2}^{31} - \dfrac{{8000}}{{381}} \cdot {q_2}^{30} - \dfrac{{381}}{{381}}{q_2}^{30} = - 1 \cr & \dfrac{{8000}}{{381}} \cdot {q_2}^{31} - \dfrac{{8381}}{{381}} \cdot {q_2}^{30} + 1 = 0 \cr & {q_2} \approx 1,02476 \cr} \)

Wir haben die Gleichung etwas vereinfacht, um sie dann mithilfe von Technologieeinsatz zu lösen.

Copy-Paste-Code für Wolfram-Alpha: (8000)/(381)q^(31)-(8381)/(381)q^(30)+1=0

Es handelt sich dabei um eine Gleichung 31-ten Grades, mit 3 reellen und 28 konjugiert komplexen Lösungen. Eine der reellen Lösungen ist negativ, eine ist 1 und die 3. Lösung beträgt 1,02476 und kommt als einzige Lösung in Frage.

Für beiden Varianten gilt:
Nun müssen wir aus dem Semester-Aufzinsungsfaktor q noch den effektiven Zahreszinsatz i berechnen:
\(​​​​i = {q_2}^2 - 1 = {1,02476^2} - 1 = 0,50133 \buildrel \wedge \over = 5,1\% \)

→ Für dieses Finanzierungsmodell beträgt der zugrunde liegende effektive Jahreszinssatz rund 5,01 %.