Aufgabe 4106
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohrproduktion - Aufgabe B_089
Teil b
Die Grenzkostenfunktion K′ für die Herstellung von Kunststoffrohren ist gegeben durch:
\(K'\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{32}} \cdot {x^2} - \dfrac{{35}}{4} \cdot x + 60\)
| x | produzierte Menge in ME |
|
K'(x) |
Grenzkosten bei der produzierten Menge x in GE/ME |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K mit K(16) = 600.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Kostenkehre.
[1 Punkt
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Grenzkosten sagen, um wie viel sich die Kosten erhöhen, wenn man noch zusätzlich eine (unendlich kleine ≠ 1 Stk) Mengeneinheit dx produziert, unabhängig davon wie viel man bereits produziert hat. Indem wir die gegebene Grenzkostenfunktion integrieren erhalten wir die Kostenfunktion.
\(\eqalign{ & K'\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{32}} \cdot {x^2} - \dfrac{{35}}{4} \cdot x + 60 \cr & K\left( x \right) = \int {\left( {\dfrac{{15}}{{32}} \cdot {x^2} - \dfrac{{35}}{4} \cdot x + 60} \right)} \,\,dx = \cr & = \dfrac{1}{{2 + 1}} \cdot \dfrac{{15}}{{32}} \cdot {x^3} - \dfrac{1}{{1 + 1}} \cdot \dfrac{{35}}{4} \cdot {x^2} + 60 \cdot x + C = \cr & \dfrac{5}{{32}} \cdot {x^3} - \dfrac{{35}}{8} \cdot {x^2} + 60 \cdot x + C \cr} \)
Die Integrationskonstante C verschiebt die Kostenfunktion entlang der y-Achse noch oben oder unten. Damit wir die Integrationskonstante C bestimmen können, setzen wir gemäß Angabe wie folgt ein:
\(\eqalign{ & K(16) = 600 \cr & K\left( {x = 16} \right) = \dfrac{5}{{32}} \cdot {16^3} - \dfrac{{35}}{8} \cdot {16^2} + 60 \cdot 16 + C = 600 \cr & C = 600 - \dfrac{5}{{32}}*{16^3} + \dfrac{{35}}{8}*{16^2} - 60*16 = 120 \cr & K\left( x \right) = \dfrac{5}{{32}} \cdot {x^3} - \dfrac{{35}}{8} \cdot {x^2} + 60 \cdot x + 120 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Die Kostenkehre (=Minimum der Grenzkosten) ist der Wendepunkt der Kostenkurve. Es geht die degressive Kostenfunktion in eine progressive Kostenfunktion über. Um den Wendepunkt zu berechnen, müssen wir die 2. Ableitung bilden und null setzen:
\(\eqalign{ & K'\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{32}} \cdot {x^2} - \dfrac{{35}}{4} \cdot x + 60 \cr & K''\left( x \right) = 2 \cdot \dfrac{{15}}{{32}} \cdot x - \dfrac{{35}}{4} = \dfrac{{15}}{{16}} \cdot x - \dfrac{{35}}{4} \cr & \cr & K''\left( x \right) = 0 \cr & \dfrac{{15}}{{16}} \cdot x - \dfrac{{35}}{4} = 0 \cr & \dfrac{{15}}{{16}} \cdot x = \dfrac{{35}}{4} \cr & \cr & x = \dfrac{{35}}{4} \cdot \dfrac{{16}}{{15}} = \dfrac{{28}}{3} = 9,\mathop 3\limits^ \bullet \cr} \)
→ Die Kostenkehre liegt bei rund 9,33 ME.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(K\left( x \right) = \dfrac{5}{{32}} \cdot {x^3} - \dfrac{{35}}{8} \cdot {x^2} + 60 \cdot x + 120\)
2. Teilaufgabe:
Die Kostenkehre liegt bei rund 9,33 ME.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: Für das richtige Erstellen der Gleichung der Kostenfunktion (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B: Für die richtige Berechnung der Kostenkehre (KA)