Aufgabe 4101
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_079
Teil c
Für einen bestimmten Zeitraum kann der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines anderen Motorboots durch die Funktion vMB näherungsweise beschrieben werden:
\({v_{MB}}\left( t \right) = a + b \cdot \left( {{e^{ - 0,1 \cdot t}} - {e^{ - t}}} \right)\)
mit:
| t | Zeit |
| vMB(t) | Geschwindigkeit des Motorboots zur Zeit t |
| a, b | positive Konstante |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch, dass die Gerade mit der Gleichung v = a eine Asymptote dieser Funktion ist.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Eine Funktion nähert sich ihrer Asymptote im Unendlichen unendlich nahe an. Daher betrachten wir, wie sich die gegebene Funktion für t→Unendlich verhält:
\(\eqalign{ & {v_{MB}}\left( t \right) = a + b \cdot \left( {{e^{ - 0,1 \cdot t}} - {e^{ - t}}} \right) \cr & \cr & \left( {t \to \infty } \right):{e^{ - 0,1 \cdot t}} \to 0 \cr & \left( {t \to \infty } \right):{e^{ - t}} \to 0 \cr & \cr & {v_{MB}}\left( {t \to \infty } \right) = a + b \cdot 0 = a \cr} \)
→ Somit ist die Gerade mit der Gleichung v = a eine Asymptote von vMB.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Indem man die gegebene Funktion für t → Unendlich betrachtet kann man zeigen, dass \({v_{MB}}\left( {t \to \infty } \right) = a\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × D: Für die richtige mathematische Argumentation (KA)