Aufgabe 4099
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074
Teil a
Die Bewegung eines Bootes wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
\(m \cdot \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot v\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch anhand der Differenzialgleichung, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Zeit t abnimmt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\(\begin{array}{l} m \cdot \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot v\\ \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot \dfrac{v}{m} \end{array}\)
→ Linke Seite der Gleichung: dv/dt - also die Änderung der Geschwindigkeit nach der Zeit - ist physikalisch betrachtet eine Beschleunigung.
Rechte Seite der Gleichung: Da v, m und k größer als null sind, bedeutet das Minuszeichen, dass eine negative Beschleunigung, also eine Verzögerung vorliegt. Bei einer Verzögerung sinkt die Geschwindigkeit.
2. Teilaufgabe:
In der zu betrachtenden Gleichung kommt v und v' vor. Dh eine Größe (Geschwindigkeit) und deren 1. Ableitung nach der Zeit. Es liegt daher eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit trennbaren Variablen vor.
1. Schritt: Trennen der Variablen, so dass auf der linken Seite v und dv und auf der rechten Seite dt samt einem Faktor stehen:
\(\begin{array}{l} m \cdot \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot v\,\,\,\,\,\left| { \cdot dt\,\,\,\,\,\left| {:v} \right.} \right.\,\,\,\,\,\left| {:m} \right.\\ \dfrac{1}{v} \cdot dv = - \dfrac{k}{m} \cdot dt \end{array}\)
2. Schritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung:
\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{v} \cdot dv = - \dfrac{k}{m} \cdot dt\\ \int {\dfrac{1}{v} \cdot dv} = \int { - \dfrac{k}{m} \cdot dt} = - \dfrac{k}{m} \cdot \int {dt} \\ \\ Nr:\\ \int {\dfrac{1}{v}} \,\,dx = \ln \left| x \right|\\ \\ \ln \left| v \right| = - \dfrac{k}{m} \cdot t + {C_1} \end{array}\)
3. Schritt: Auflösung der vorliegenden impliziten Gleichung
\(\begin{array}{l} \ln \left| v \right| = - \dfrac{k}{m} \cdot t + {C_1}\,\,\,\,\,\left| { \cdot e} \right.\\ \left| v \right| = {e^{ - \dfrac{k}{m} \cdot t + {C_1}}} = {e^{ - \dfrac{k}{m} \cdot t}} \cdot {e^{{C_1}}}\\ v = \mp {e^{{C_1}}} \cdot {e^{ - \dfrac{k}{m} \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| { \mp {e^{{C_1}}} = C} \right.\\ v(t) = C \cdot {e^{ - \dfrac{k}{m} \cdot t}} \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Linke Seite der Gleichung: dv/dt - also die Änderung der Geschwindigkeit nach der Zeit - ist physikalisch betrachtet eine Beschleunigung.
Rechte Seite der Gleichung: Da v, m und k größer als null sind, bedeutet das Minuszeichen, dass eine negative Beschleunigung, also eine Verzögerung vorliegt. Bei einer Verzögerung sinkt die Geschwindigkeit.
2. Teilaufgabe:
\(v\left( t \right) = C \cdot {e^{ - \dfrac{k}{m} \cdot t}}\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × D: Für die richtige Argumentation (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B: Für die richtige Berechnung der allgemeinen Lösung (KB)