Aufgabe 4089
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014
Teil d
Alkaid und Dubhe sind zwei Sterne des Sternbilds Großer Wagen. Ihre Positionen können mittels ihrer Koordinaten in Lichtjahren in Bezug auf ein bestimmtes kartesisches Koordinatensystem angegeben werden. Dabei befindet sich die Erde im Koordinatenursprung O.
- Alkaid: A = (–60|–31| 79)
- Dubhe: D = (–57|14|109)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OD .
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Entfernung der beiden Sterne voneinander.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Winkel zwischen 2 Vektoren und der Betrag eines Vektors berechnet sich gemäß:
\(\begin{array}{l} \varphi = \arccos \dfrac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\\ \\ \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \end{array}\)
Wir setzen in obige Formeln wie folgt ein:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a = \overrightarrow {0A} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 60}\\ { - 31}\\ {79} \end{array}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 60} \right)}^2} + {{\left( { - 31} \right)}^2} + {{\left( {79} \right)}^2}} = \sqrt {10802} \\ \overrightarrow b = \overrightarrow {0D} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 57}\\ {14}\\ {109} \end{array}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 57} \right)}^2} + {{\left( {14} \right)}^2} + {{\left( {109} \right)}^2}} = \sqrt {15326} \\ \\ {\rm{Skalares Produkt:}}\,\,\,\,\,\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}\\ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left[ {\left( { - 60} \right) \cdot \left( { - 57} \right)} \right] + \left[ {\left( { - 31} \right) \cdot \left( {14} \right)} \right] + \left[ {\left( {79} \right) \cdot \left( {109} \right)} \right] = 11597\\ \\ \varphi = \arccos \dfrac{{11597}}{{\sqrt {10802} \cdot \sqrt {15326} }} = 25,67^\circ \end{array}\)
→ Der gesuchte Winkel beträgt rund 25,7°
2. Teilaufgabe:
Der Betrag bzw. die Länge des Vektors ergeben sich aus dem Abstand zwischen seinem Anfangspunkt, dem Schaft im Punkt "A" und seinem Endpunkt, also seiner Spitze in "B".
\(\begin{array}{l} A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 60}\\ { - 31}\\ {79} \end{array}} \right)\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 57}\\ {14}\\ {109} \end{array}} \right)\\ \\ \overrightarrow {AB} = \overrightarrow B - \overrightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 57}\\ {14}\\ {109} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 60}\\ { - 31}\\ {79} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ {45}\\ {30} \end{array}} \right)\\ \\ \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{3^3} + {{45}^2} + {{30}^2}} = 54,33 \end{array}\)
→ Die Entfernung der beiden Sterne betragt rund 54,3 Lichtjahre.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der gesuchte Winkel beträgt rund 25,7°
2. Teilaufgabe:
Die Entfernung der beiden Sterne betragt rund 54,3 Lichtjahre.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × B1: Für die richtige Berechnung des Winkels (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B2: Für das richtige Ermitteln der Entfernung (KA)