Aufgabe 4086
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014
Die nachfolgende Abbildung zeigt eine schematische Darstellung des Sternbilds Großer Wagen.
Teil a
Astronomen verwenden verschiedene Koordinatensysteme. In einem Koordinatensystem mit der Erde im Koordinatenursprung O kann die Position eines Sterns S mithilfe der Winkel α und δ sowie der Entfernung OS von der Erde angegeben werden (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Koordinate zs aus dem Winkel δ und der Entfernung \(\overline {OS} \)
zs=
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den Koordinaten xS und yS jeweils den zutreffenden Ausdruck aus A bis D zu.
[2 zu 4]
- Aussage 1: \(\overline {OS} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \delta \right)\)
- Aussage 2: \(\overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \delta \right)\)
- Aussage 3: \(\overline {OS} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right)\)
- Aussage 4: \(\overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right)\)
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Entfernung \(\overline {OS} \) ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die Koordinate zS ist die Gegenkathete zum betrachteten Winkel δ . Somit können wir mit Hilfe vom Sinus wie folgt formulieren:
\(\begin{array}{l} \sin \left( \delta \right) = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Hypothenuse}}}}\\ \sin \left( \delta \right) = \dfrac{{{z_S}}}{{\overline {OS} }}\\ {z_S} = \overline {OS} \cdot \sin \left( \delta \right) \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Zum besseren Verständnis führen wir den Lotpunkt L ein.
- Zuerst berechnen wir die Strecke OL wie folgt: \(\overline {OL} = \left[ {\overline {OS} \cdot \cos \left( \delta \right)} \right]\)
- Darauf aufbauend berechnen wir die beiden gesuchten Strecken, für die OL jeweils die Hypotenuse darstellt:
- \(\begin{array}{l} {x_S} = \overline {OL} \cdot \cos \left( \alpha \right) = \left[ {\overline {OS} \cdot \cos \left( \delta \right)} \right] \cdot \cos \left( \alpha \right) = \\ = \overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right) \end{array}\)
→ Aussage 4 - \(\begin{array}{l} {y_S} = \overline {OL} \cdot \sin \left( \alpha \right) = \left[ {\overline {OS} \cdot \cos \left( \delta \right)} \right] \cdot \sin \left( \alpha \right) = \\ = \overline {OS} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right) \end{array}\)
→ Aussage 3
- \(\begin{array}{l} {x_S} = \overline {OL} \cdot \cos \left( \alpha \right) = \left[ {\overline {OS} \cdot \cos \left( \delta \right)} \right] \cdot \cos \left( \alpha \right) = \\ = \overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right) \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\({z_S} = \overline {OS} \cdot \sin \left( \delta \right)\)
2. Teilaufgabe:
- xS → Aussage 4
- yS → Aussage 3
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: Für das richtige Erstellen der Formel (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × C: Für die richtige Zuordnung (KA)