Aufgabe 4084

1. Teilaufgabe:

Mit beliebig groß werdendem t geht \({e^{ - \lambda \cdot t}} \to 0\) gegen null und damit gilt:
\(\begin{array}{l} A\left( t \right) = 100 - 85 \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\\ A\left( {t \to \infty } \right) = 100 - 0 = 100 \end{array}\)

2. Teilaufgabe:

Wir setzen für t=2 den Funktionswert 80 ein und machen Lambda explizit:

\(\begin{array}{l} A\left( t \right) = 100 - 85 \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\\ A\left( {t = 2} \right) = 80 = 100 - 85 \cdot {e^{ - \lambda \cdot 2}}\\ \\ 20 = 85 \cdot {e^{ - 2\lambda }}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\ \ln \left( {20} \right) = \ln \left( {85} \right) - 2 \cdot \lambda \\ 2 \cdot \lambda = \ln \left( {85} \right) - \ln \left( {20} \right)\\ \\ \lambda = \dfrac{{\ln \left( {85} \right) - \ln \left( {20} \right)}}{2} = 0,72346 \end{array}\)

3. Teilaufgabe:

Aus der 2. Teilaufgabe kennen wir den Wert von Lambda. Daher müssen wir nur den Funktionswert A(t)=90 in die Gleichung einsetzen und t explizit machen:
 

\(\begin{array}{l} A\left( t \right) = 100 - 85 \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\\ 90 = 100 - 85 \cdot {e^{ - 0,72346 \cdot t}}\\ \\ 85 \cdot {e^{ - 0,72346 \cdot t}} = 100 - 90 = 10\\ \dfrac{{10}}{{85}} = {e^{ - 0,72346 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\ \ln \left( {\dfrac{{10}}{{85}}} \right) = - 0,72346 \cdot t\\ t = - \dfrac{{\ln \left( {\frac{{10}}{{85}}} \right)}}{{0,72346}} = 2,9581\\ t = 2,9581 \end{array}\)

Alternativ kann man die Lösung der Gleichung

\(90 = 100 - 85 \cdot {e^{ - 0,72346 \cdot t}}\)

natürlich auch mittels Technologieeinsatz ermitteln:

Wolfram Alpha: 90=100-85e^(-0.72346t) liefert t=2,9581.