Aufgabe 4061
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lego - Aufgabe B_409
Teil c
Tobias spielt mit 5 Legosteinen: 2 Steine mit 3 Noppen in einer Reihe und 3 Steine mit 4 Noppen in einer Reihe.
Er zieht zufällig (also ohne die Anzahl der Noppen zu sehen oder zu ertasten) einen Legostein nach dem anderen und legt sie aneinander. Er zieht so lange, bis die entstehende Mauer mindestens 7 Noppen lang ist. Das nachstehende Baumdiagramm zeigt seine möglichen Züge und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, welches Ereignis E durch den fett gezeichneten Pfad beschrieben wird.
[1 Punkt]
Die Zufallsvariable X beschreibt die gesamte Anzahl der Noppen in der Mauer.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Baumdiagramms und tragen Sie diese in der nachstehenden Tabelle ein.
[1 Punkt]
| \({{\text{x}}_i}\) | 7 | 8 | 10 |
| \(P\left( {X = {x_i}} \right)\) |
Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der Züge, die Tobias benötigt, um eine Mauer mit mindestens 7 Noppen zu erhalten.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsvariablen Y.
[2 Punkte]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Das Baumdiagramm beschreibt 4 Wege um mindestens 7 Noppen zu erhalten:
- 3+3+4
- 3+4
- 4+4 = fett eingezeichneter Pfad
- 4+3
Im fett eingezeichnetem Pfad wird zuerst ein Stein mit 4 Noppen gezogen, dann wird noch einmal ein Stein mit 4 Noppen gezogen.
→ E ist das Ereignis, dass 2 Steine mit 4 Noppen gezogen werden.
2. Teilaufgabe
Das Baumdiagramm beschreibt 4 Wege um mindestens 7 Noppen zu erhalten:
- 3+3+4=10 wobei: \(P\left( {X = 10} \right) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 1 = \dfrac{2}{{20}} = \dfrac{1}{{10}}\)
- 3+4=7 wobei: \(P\left( {X = 7} \right) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{{20}} = \dfrac{3}{{10}}\)
- 4+4 =8 wobei: \(P\left( {X = 8} \right) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{{10}}\)
- 4+3=7 wobei: \(P\left( {X = 7} \right) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{{10}}\)
Somit können wir die Tabelle wie folgt ausfüllen
| \({{\rm{x}}_i}\) | 7 | 8 | 10 |
| \(P\left( {X = {x_i}} \right)\) | \(\dfrac{3}{{10}} + \dfrac{3}{{10}} = \dfrac{6}{{10}} = 0,6\) | \(\dfrac{3}{{10}} = 0,3\) | \(\dfrac{1}{{10}} = 0,1\) |
Kontrolle: \(\dfrac{6}{{10}} + \dfrac{3}{{10}} + \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{{10}}{{10}} = 1 \overset{\wedge}\to{=} 100\% \)
3. Teilaufgabe:
Das Baumdiagramm beschreibt 4 Wege um mindestens 7 Noppen zu erhalten:
- 3+3+4 → Es werden 3 Züge benötigt
- 3+4 → Es werden 2 Züge benötigt
- 4+4 → Es werden 2 Züge benötigt
- 4+3 → Es werden 2 Züge benötigt
| \({y_i}\) | i=2 erforderliche Züge | i=3 erforderliche Züge |
| \(P\left( {Y = {y_i}} \right)\) | \(\dfrac{3}{{10}} + \dfrac{3}{{10}} + \dfrac{3}{{10}} = \dfrac{9}{{10}}\) | \(\dfrac{1}{{10}}\) |
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Y, errechnet sich aus der Summe der Produkte vom jeweiligen Wert yi und seiner Wahrscheinlichkeit P(Y=yi). Merkregel: "Was passiert" mal "mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert es".
\(E\left( Y \right) = 2 \cdot \dfrac{9}{{10}} + 3 \cdot \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{{18}}{{10}} + \dfrac{3}{{10}} = \dfrac{{21}}{{10}} = 2,1\)
Interpretation: Um eine Mauer mit mindestens 7 Noppen bauen zu können sind durchschnittlich 2,1 Züge erforderlich.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
E ist das Ereignis, dass 2 Steine mit 4 Noppen gezogen werden.
2. Teilaufgabe:
- xi=7 P(X=xi)=0.6
- xi=8 P(X=xi)=0.3
- xi=10 P(X=xi)=0.1
3. Teilaufgabe:
E(Y)=2,1
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe:
1 × C: für die richtige Beschreibung des Ereignisses im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B1: für das richtige Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten (KB)
3. Teilaufgabe:
1 × A: für die richtige Modellbildung (KB)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Erwartungswerts (KB)