Aufgabe 4056

1. Teilaufgabe

Aus der Grafik lesen wir die Steigung der Geraden f und g wie folgt ab:

\(\begin{array}{l} k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ {k_f} = \dfrac{{ - 40}}{{20}} = - 2\\ {k_g} = \dfrac{{ - 20}}{{20}} = - 1 \end{array}\)

Wir benötigen 4 Gleichungen, um die 4 Unbekannten a, b, c und d bestimmen zu können.

Die Tatsache, dass die Punkte A und B auf h(x) liegen müssen liefert die ersten beiden Gleichungen:
\(\eqalign{ & Gl.1:h\left( {x = 0} \right) = 100 \to a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 100 \to d = 100 \cr & Gl.2:h(x = 100) = 0 \to a \cdot {100^3} + b \cdot {100^2} + c \cdot 100 + 100 = 0 \to {100^3} \cdot a + {100^2} \cdot b + 100 \cdot c + 100 = 0 \cr} \)

Die Tatsache, dass die Steigungen k_f und k_g auch die Steigungen an h(x) in den Punkten A und B sein müssen liefert die dritte und vierte Gleichung:
Die Gleichung für die Steigung der Funktion h(x) erhalten wir, indem wir h(x) einmal ableiten und dann für A und B einsetzen.

\(\eqalign{ & h\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d \cr & h'\left( x \right) = 3a \cdot {x^2} + 2b \cdot x + c \cr & \cr & Gl.3:h'\left( {x = 0} \right) = {k_f} = - 2 \to 3a \cdot 0 + 2b \cdot 0 + c = - 2 \to c = - 2 \cr & Gl.4:h'\left( {x = 100} \right) = {k_g} = - 1 \to 3a \cdot {100^2} + 2b \cdot 100 + \left( { - 2} \right) = - 1 \cr} \)

Somit lautet das Gleichungssystem
\(\eqalign{ & Gl.1:h\left( {x = 0} \right) = 100 \to a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 100 \cr & Gl.2:h(x = 100) = 0 \to a \cdot {100^3} + b \cdot {100^2} + c \cdot 100 + 100 = 0 \cr & Gl.3:h'\left( {x = 0} \right) = {k_f} = - 2 \to 3a \cdot 0 + 2b \cdot 0 + c = - 2 \cr & Gl.4:h'\left( {x = 100} \right) = {k_g} = - 1 \to 3a \cdot {100^2} + 2b \cdot 100 + c = - 1 \cr} \)

oder vereinfacht, gemäß der Lösungserwartung:
\(\eqalign{ & a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 100 \cr & a \cdot {100^3} + b \cdot {100^2} + c \cdot 100 + 100 = 0 \cr & 3a \cdot 0 + 2b \cdot 0 + c = - 2 \cr & 3a \cdot {100^2} + 2b \cdot 100 + c = - 1 \cr} \)

2. Teilaufgabe

Laut der 1. Teilaufgabe lautet das Gleichungssystem wie folgt:

\(\eqalign{ & a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 100 \cr & a \cdot {100^3} + b \cdot {100^2} + c \cdot 100 + 100 = 0 \cr & 3a \cdot 0 + 2b \cdot 0 + c = - 2 \cr & 3a \cdot {100^2} + 2b \cdot 100 + c = - 1 \cr} \)

Man kann obiges Gleichungssystem bestehend aus 4 Gleichungen für 4 Unbekannte mittels Technologieeinsatz lösen.
Die 1. und die 3. Gleichung bieten sich aber für eine Vereinfachung wie folgt an:

\(\eqalign{ & Gl.1:d = 100 \cr & Gl.2:{100^3} \cdot a + {100^2} \cdot b - 200 + 100 = 0 \cr & Gl.3:c = - 2 \cr & Gl.4:3 \cdot {100^2} \cdot a + 2 \cdot 100 \cdot b - 1 = 0 \cr} \)

Somit haben wir nur mehr 2 Gleichungen für die verbleibenden 2 Ungekannten a bzw. b.

Die Lösung erfolgt mittels Technologieeinsatz:

\(\eqalign{ & a = - \frac{1}{{10000}} = - 0,0001 \cr & b = \frac{1}{{50}} = 0,02 \cr} \)

Die 4 Koeffizienten lauten somit

\(\eqalign{ & a = - 0,0001 \cr & b = 0,02 \cr & c = - 2 \cr & d = 100 \cr} \)

Nachfolgende Illustration zeigt den Verlauf von h(x) und man kann erkennen, dass die Geraden f und g tatsächlich Tangenten an h(x) sind.

Geogebra:

• Ansicht → Algebra
• Gleichungen eingeben und beide Zeilen auswählen
• Auf 7. Icon "x=" drücken "Löst Gleichung exakt"

Bild