Aufgabe 4050
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Seegrundstück - Aufgabe B_415
Teil a
Für den Kauf eines Seegrundstucks benötigt der Käufer einen Kredit in Höhe von € 865.000. (Spesen und Gebühren werden nicht berücksichtigt.) Ein Kreditinstitut macht folgendes Angebot: Der Kreditnehmer bezahlt am Ende jedes Jahres eine Rate in Höhe von € 100.000 bei einem Zinssatz von 6,75 % p. a.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, wie viele volle Raten der Kreditnehmer bezahlen muss.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Höhe des ein Jahr nach der letzten vollen Rate fälligen Restbetrags.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir schreiben die wichtigsten Werte zusammen:
- Barwert: K0=865 000
- nachschüssige Rate R=100 000
- Zinssatz in % i=6,75%
- Aufzinsungsfaktor q=1+i=1,0675
- Laufzeit in Jahren n
Barwert einer Rente bei nachschüssigen Raten
\({B_{nachsch}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^n}}}\)
Wir setzen die konkreten Zahlenwerte ein und können somit folgende Gleichung aufstellen und mittels Technologieeinsatz lösen:
\(\begin{array}{l} 865\,000 = 100\,000 \cdot \dfrac{{{{1,0675}^n} - 1}}{{0,0675}} \cdot \dfrac{1}{{{{1,0675}^n}}}\\ n \approx 13,42 \end{array}\)
→ Der Kreditnehmer muss 13 volle Raten bezahlen
Lösung mittels Geogebra:
- Ansicht CAS
- Eingabe der Gleichung
- 8 Icon von Links "Löse Gleichung numerisch"
2. Teilaufgabe:
Wir schreiben die wichtigsten Werte zusammen:
- Barwert: K0=865 000
- nachschüssige Rate R=100 000
- Zinssatz in % i=6,75%
- Aufzinsungsfaktor q=1+i=1,0675
- Laufzeit in Jahren n=13
Der Endwert nach 13 Jahren von einem Barwert in Höhe von 865 000 errechnet sich zu:
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Wir setzen ein:
\({K_n} = 865\,000 \cdot {1.0675^{13}} = 2\,022\,081,22\)
Auf Grund von 13 Raten in Höhe von 100 000 wurden von obiger Schuld schon wir folgt abbezahlt:
\({E_{nachsch}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right)\)
Wir setzen ein:
\({E_{nachsch}} = 100\,000 \cdot \dfrac{{{{1,0675}^{13}} - 1}}{{1,0675 - 1}} = 1\,981\,727,63\)
Nach der letzen vollen Rate ist die Differenz der beiden Beträge noch offen.
\(2\,022\,081,22 - 1\,981\,727,63 = 40\,353,59\)
Diese Restschuld steigt aber noch an, weil sie gemäß Angabe nicht sofort, sondern erst ein Jahr nach der letzten vollen Rate, bezahlt werden soll. Wir müssen also den Endwert nach einem weiteren Jahr wie folgt berechnen:
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Wir setzen ein:
\({K_n} = 40\,353,59 \cdot {1,0675^1} = 43\,077,46\)
→ Die Höhe des Restbetrags beträgt 43.077,46 €.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Kreditnehmer muss 13 volle Raten bezahlen.
2. Teilaufgabe
Die Höhe des Restbetrags beträgt 43.077,46 €.
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × B1: für die richtige Berechnung der Anzahl der Vollraten (KA)
2. Teilaufgabe
1 × B2: für die richtige Berechnung der Höhe des Restbetrags (KB)