Aufgabe 4048
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lampenproduktion - Aufgabe B_419
Teil c
Für eine quadratische Gewinnfunktion G gilt: \(G\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
mit:
| x | Anzahl der abgesetzten ME |
| G(x) | Gewinn bei x abgesetzten ME in GE |
Es wird behauptet, dass die Extremstelle von G bei \({x_0} = - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\) liegt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass diese Behauptung stimmt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie an, welche Bedingung für den Koeffizienten a gelten muss, damit an dieser Stelle ein Maximum vorliegt.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Extremstelle (Minimum, Maximum) bestimmen wir indem wir die Funktion einmal ableiten, dann Null setzen und x0 explizit machen:
\(\eqalign{ & G\left( x \right):a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr & G'\left( {{x_0}} \right):2 \cdot a \cdot {x_0} + b = 0 \cr & 2 \cdot a \cdot {x_0} = - b\,\,\,\,\,\left| {:2a} \right. \cr & {x_0} = - \frac{b}{{2 \cdot a}} \cr} \)
2. Teilaufgabe
Damit ein Maximum vorliegt, muss die 2. Ableitung von G(x) < 0 sein
\(\eqalign{ & G\left( x \right):a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr & G'\left( x \right):2 \cdot a \cdot x + b = 0 \cr & G''\left( x \right) = 2a \cr} \)
Damit 2a kleiner Null ist, muss a negativ sein bzw. a < 0 gelten.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
1. Teilaufgabe
\({x_0} = - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\)
2. Teilaufgabe
a < 0
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
2. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Angeben der Bedingung (KA)