Aufgabe 4047

1. Teilaufgabe

Der Gewinn ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)

wir kennen
\(E\left( x \right) = 9 \cdot x\)
\(K\left( x \right) = 0,05 \cdot {x^2} + 3 \cdot x + 155\)

und können somit anschreiben:
\(\eqalign{ & G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right) \cr & G(x) = 9 \cdot x - \left[ {0,05 \cdot {x^2} + 3 \cdot x + 155} \right] = \cr & = 9 \cdot x - 0,05 \cdot {x^2} - 3 \cdot x - 155 = \cr & G\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 6x - 155 \cr} \)

Die gesuchte Gewinnfunktion lautet somit
\(G\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 6x - 155\)

2. Teilaufgabe
Wir kennen die Gewinnfunktion
\(G\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 6x - 155\)

Die Gewinngrenzen entsprechen den Nullstellen der Gewinnfunktion. Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion ermitteln wir mit Hilfe der "abc Formel" wie folgt

\(\eqalign{ & {x_{1,2}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {{6^2} - 4 \cdot \left( { - 0,05} \right) \cdot \left( { - 155} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0.05} \right)}} \cr & {x_{1,2}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 31} }}{{ - 0,1}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt 5 }}{{ - 0,1}} \cr & {x_1} = 37,639 \cr & {x_2} = 82,360 \cr} \)

Zur Erinnerung die "abc-Formel":

\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0; \cr & {x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr} \)

wobei:

\(\eqalign{ & a = - 0,05 \cr & b = 6 \cr & c = - 155 \cr} \)

3. Teilaufgabe

Die Extremwerte einer Funktion erhalten wir indem wir die Funktion ableiten und dann Null setzen.
\(\eqalign{ & G\left( x \right): - 0,05 \cdot {x^2} + 6x - 155 \cr & G'\left( x \right):2 \cdot \left( { - 0,05} \right) \cdot x + 6 = 0 \cr & 0,1 \cdot x = 6\,\,\,\,\,\left| { \cdot 10} \right. \cr & x = 60 \cr} \)

Dh der maximale Gewinn wird bei einer Losgröße von 60 ME erreicht.

Nun rechnen wir den Gewinn für 60 ME durch einsetzen in die Gewinnfunktion wie folgt aus:

\(\eqalign{ & G\left( x \right): - 0,05 \cdot {x^2} + 6x - 155 \cr & G(x = 60) = - 0,05 \cdot {60^2} + 6 \cdot 60 - 155 \cr & G\left( {x = 60} \right) = 25 \cr} \)

→ Der maximale Gewinn beträgt 25 GE