Aufgabe 4046
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lampenproduktion - Aufgabe B_419
Teil a
Ein Unternehmen produziert verschiedene Lampen. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Stückkostenfunktion \(\overline K \) der Leuchte Credas dargestellt.
Die zugehörige Grenzkostenfunktion K′ ist gegeben durch: \(K'\left( x \right) = 0,5 \cdot x + 5\)
mit
x | Anzahl der produzierten ME |
K‘(x) | Grenzkosten bei x produzierten ME in GE/ME |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie den Graphen der Grenzkostenfunktion K′ in der obigen Abbildung ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie das Betriebsoptimum ab.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K.
[1 Punkt]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Fixkosten.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Bei der gegebenen Grenzkostenfunktion \(K'\left( x \right) = 0,5 \cdot x + 5\) handelt es sich um eine lineare Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\)
Um die zugehörige Gerade einzeichnen zu können müssen wir k und d bestimmen.
- d kann man direkt ablesen: d=5 Das ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse
- k kann man direkt ablesen: k=0,5
- k=0,5 bedeutet: Wenn man 1 Einheit in Richtung der x-Achse nimmt, muss man 0,5 Einheiten in Richtung der y-Achse machen. Das ist angesichts des Rasters unpraktisch einzuzeichnen.
- k=0,5 bedeutet aber auch: Wenn man 10 Einheiten in Richtung der x-Achse nimmt, dann muss man 5 Einheiten in Richtung der y-Achse machen. Das ist einfach einzuzeichnen
Wir erhalten somit folgende Darstellung:
2. Teilaufgabe:
Das Betriebsoptimum liegt bei jeder Stückzahl, wo das Minimum der durchschnittlichen Kosten liegt. D.h. wo die Kosten pro Mengeneinheit am geringsten sind.
Man kann den Wert wie folgt ablesen: xopt. = 20 ME.
3. Teilaufgabe:
Wir kennen die Grenzkostenfunktion: \(K'\left( x \right) = 0,5 \cdot x + 5\)
Durch Integration kommen wir von der Grenzkostenfunktion gemäß \(K' \to \int {} \to K\) auf die gesuchte Kostenfunktion, gemäß folgendem Rechenweg:
\(\eqalign{ & K'\left( x \right) = 0,5 \cdot x + 5 \cr & K\left( x \right) = \int {\left( {0,5 \cdot x + 5} \right)\,\,dx = } 0,5 \cdot \dfrac{{{x^2}}}{2} + 5x + c = 0,25 \cdot {x^2} + 5x + c \cr} \)
Um die Integrationskonstante c zu bestimmen verwenden wir die Koordinaten vom Betriebsoptimum:
- xopt.=20 ME
- yopt.=15 GE
und setzen wie folgt ein:
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = 0,25 \cdot {x^2} + 5x + c \cr & K(x = 20) = 0,25 \cdot {20^2} + 5 \cdot 20 + c = 20 \cdot 15 \cr & 100 + 100 + c = 300 \cr & c = 300 - 200 = 100 \cr} \)
Die Gleichung der Kostenfunktion lautet somit:
\(K\left( x \right) = 0,25 \cdot {x^2} + 5 \cdot x + 100\)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht diese Zusammenhänge
Wie erwartet zeigt sich auch, dass die Tangente aus dem Ursprung die Kostenfunktion bei jener Produktionsmenge berührt, die dem Betriebsoptimum entspricht.
4. Teilaufgabe
Die Fixkosten sind jene Kosten die auch dann anfallen wenn x=0 ME produziert werden:
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = 0,25 \cdot {x^2} + 5 \cdot x + 100 \cr & K\left( {x = 0} \right) = 100 \cr} \)
→ Die Fixkosten betragen somit 100 GE
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
xopt. = 20 ME
3: Teilaufgabe
\(K\left( x \right) = 0,25 \cdot {x^2} + 5 \cdot x + 100\)
4. Teilaufgabe
Die Fixkosten betragen 100 GE
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B1: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Grenzkostenfunktion (KA)
2. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Ablesen des Betriebsoptimums im Toleranzbereich [18 ME; 22 ME] (KA)
3. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Kostenfunktion (ohne Berechnung der Integrationskonstanten) (KA)
4. Teilaufgabe
1 × B2: für die richtige Berechnung der Fixkosten (KB)