Aufgabe 4044
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Catering - Aufgabe B_410
Teil b
In der nachstehenden Abbildung ist der Lösungsbereich des Ungleichungssystems mit den Vorgaben eines anderen Events dargestellt.
Die Produktionskosten für jedes Stück pikantes Fingerfood betragen € 0,80, für jedes Stück Dessert € 1. Die Gesamtproduktionskosten sollen möglichst gering sein.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Zielfunktion.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Gerade ein, für die im Lösungsbereich des Ungleichungssystems der minimale Wert der Zielfunktion angenommen wird.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung diejenigen Produktionsmengen ab, bei der die Gesamtproduktionskosten minimal sind.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir werten die Angabe wir folgt aus:
- x Stück pikantes Fingerfood zu Kosten von 0,80 €
- y Stück Dessert zu Kosten von 1 €
Damit können wir die Kostenfunktion, die aus den 2 Variablen x, y besteht, wie folgt anschreiben:
\(K\left( {x,y} \right) = a \cdot x + b \cdot y\)
\(K\left( {x,y} \right) = 0,8 \cdot x + 1 \cdot y\)
2. Teilaufgabe
Die Zielfunktion lautet:
\(0,8 \cdot x + 1 \cdot y = 0\)
Wir trennen die Variablen und ermitteln die Steigung der Geraden, deren Lage wir zunächst nicht kennen
\(\eqalign{ & y = - 0,8x \to k = - 0,8 = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \cr & {\text{Wir setzen }}\Delta {\text{x = 100}} \to \Delta {\text{y = - 80}} \cr} \)
Das ist die Steigung einer Geraden, die von „links oben“ nach „rechts unten“ abfällt.
→ Wir zeichnen diese Gerade an einer beliebigen Stelle ein, indem wir von einem Ausgangspunkt um 100 in Richtung der x-Achse gehen und dann um 80 in Richtung der negativen y-Achse.
Diese Gerade muss den schraffierten Lösungsbereich berühren.
→ Wir verschieben die Gerade in der Abbildung so lange parallel, bis das der Fall ist.
Damit erhalten wir die folgende Illustration:
3. Teilaufgabe
Wir können die Antwort direkt aus der Illustration wie folgt ablesen:
Die Gesamtproduktionskosten sind bei einer Produktion von 300 Stück pikantem Fingerfood und 60 Stück Dessert minimal.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(K\left( {x,y} \right) = 0,8 \cdot x + 1 \cdot y\)
2. Teilaufgabe:
3. Teilaufgabe:
Die Gesamtproduktionskosten sind bei einer Produktion von 300 Stück pikantem Fingerfood und 60 Stück Dessert minimal.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Zielfunktion (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B: für das richtige Einzeichnen der Geraden, für die der minimale Wert der Zielfunktion angenommen wird (KB)
3. Teilaufgabe:
1 × C: für das richtige Ablesen der optimalen Produktionsmengen (KB)