Aufgabe 4033
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
Teil d
Das Absinken der Sauerstoffaufnahme nach Beendigung einer körperlichen Belastung beim Sport kann mit der folgenden Differenzialgleichung beschrieben werden:
\(\dfrac{{dy}}{{dt}} = - 1,386 \cdot \left( {y - 0,3} \right)\)
mit
t | Zeit nach Beendigung der körperlichen Belastung in Minuten (min) |
y(t) | Sauerstoffaufnahme zur Zeit t in Litern pro Minute (L/min) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lösen Sie diese Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
\(\dfrac{{dy}}{{dt}} = - 1,386 \cdot \left( {y - 0,3} \right)\)
1. Lösungsschritt: Trennen der beiden Variablen
\(\eqalign{ & \dfrac{{dy}}{{dt}} = - 1,386 \cdot \left( {y - 0,3} \right)\,\,\,\,\,\left| { \cdot dt\,\,\,:} \right.\left( {y - 0,3} \right) \cr & \dfrac{{dy}}{{y - 0,3}} = - 1,386\,\,dt \cr} \)
2. Lösungsschritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung
\(\eqalign{ & \int {\dfrac{{dy}}{{y - 0,3}}} = \int { - 1,386} \,\,dt \cr & \int {\dfrac{1}{{y - 0,3}}} \,\,dy = - 1,386\int {dt} \cr & \ln \left| {y - 0,3} \right| = - 1,386 \cdot t + {C_1} \cr} \)
3. Lösungsschritt: Man versucht - was nicht immer möglich ist - die Auflösung der nunmehr vorliegenden impliziten Gleichung vom Typ G(y)=F(t) nach der Variablen „y“.
\(\eqalign{ & \ln \left| {y - 0,3} \right| = - 1,386 \cdot t + {C_1}\,\,\,\,\,\left| { \cdot e} \right. \cr & y - 0,3 = {e^{ - 1,386 \cdot t + {C_1}}} = {e^{ - 1,386 \cdot t}} \cdot {e^{{C_1}}} = {C_2} \cdot {e^{ - 1,386 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| { + 0,3} \right. \cr & y\left( t \right) = {C_2} \cdot {e^{ - 1,386 \cdot t}} + 0,3 \cr} \)
Die Lösung der Differentialgleichung lautet: \(y\left( t \right) = {C_2} \cdot {e^{ - 1,386 \cdot t}} + 0,3\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(y\left( t \right) = {C_2} \cdot {e^{ - 1,386 \cdot t}} + 0,3\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: Für das richtige Lösen der Differenzialgleichung (KA)