Aufgabe 4020

1. Teilaufgabe

• Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil das Volumen eines Zylinders direkt proportional zur Höhe ist. Man kann das wie folgt zeigen:
  \(\eqalign{ & V = {r^2} \cdot \pi \cdot h \cr & h' \to 2 \cdot h \cr & V' = {r^2} \cdot \pi \cdot h' = {r^2} \cdot \pi \cdot \left( {2 \cdot h} \right) = \left( {{r^2} \cdot \pi \cdot h} \right) \cdot 2 = 2 \cdot V \cr} \)
   
• Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil das Volumen eines Zylinders exponentiell zum Radius ist. Man kann das wie folgt zeigen:
  \(\eqalign{ & V = {r^2} \cdot \pi \cdot h \cr & r' \to 2 \cdot r \cr & V' = {{r'}^2} \cdot \pi \cdot h = {\left( {2 \cdot r} \right)^2} \cdot \pi \cdot h = 4 \cdot \left( {{r^2} \cdot \pi \cdot h} \right) = 4 \cdot V \cr} \)

2. Teilaufgabe
Aus der Angabe kennen wir :

• Höhe h = 80 cm,
• Innenradius r = 42 cm

Unter Verwendung der Formel für das Volumen eines Zylinders können wir wie folgt berechnen:

\(\begin{array}{l} V = {r^2} \cdot \pi \cdot h\\ V = {42^2} \cdot \pi \cdot 80 \cdot 0,95 = 4,21174 \cdot {10^5}c{m^3}\\ \\ 1c{m^3} = 1 \cdot {10^{ - 3}}d{m^3}\\ \\ V = \left( {4,21174 \cdot {{10}^5}} \right) \cdot {10^{ - 3}} = 421,174d{m^3}\\ \Delta V = \dfrac{{{\rm{Traubenmost}}}}{{{\rm{95\% vom Volumen}}}} = \dfrac{{350l}}{{421,174l}} = 0,831 \buildrel \wedge \over = 83,1\% \end{array}\)

→ Der relativer Anteil des Traubenmosts am ursprünglichen Traubenvolumen beträgt ca. 83%