Aufgabe 4314
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ganzkörperhyperthermie - Aufgabe A_158
Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber).
Teil b
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitintervall mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Begründen Sie, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchstens 2 Extrempunkte haben kann.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Achtung: Hier ist „Dokumentieren Sie“ und nicht „Berechnen Sie“ gefordert.
Dazu muss das lokale Maximum bzw. der lokale Hochpunkt der Funktion f ermittelt werden: Man berechnet die Nullstellen der 1. Ableitung f′. Dann berechnet man die Funktionswerte an diesen Stellen und den Randstellen. Die größte dieser Zahlen ist der maximale Funktionswert.
2. Teilaufgabe:
Die 1. Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades ist eine quadratische Funktion. Eine quadratische Funktion hat höchstens 2 Nullstellen. Daher kann der Graph der Polynomfunktion 3. Grades nur höchstens 2 Extrempunkte haben.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Dazu muss das lokale Maximum bzw. der lokale Hochpunkt der Funktion f ermittelt werden: Man berechnet die Nullstellen der 1. Ableitung f′. Dann berechnet man die Funktionswerte an diesen Stellen und den Randstellen. Die größte dieser Zahlen ist der maximale Funktionswert.
2. Teilaufgabe:
Die 1. Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades ist eine quadratische Funktion. Eine quadratische Funktion hat höchstens 2 Nullstellen. Daher kann der Graph der Polynomfunktion 3. Grades nur höchstens 2 Extrempunkte haben.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × C: für die richtige Dokumentation zur Berechnung der maximalen Körpertemperatur. (In der Grafik ist klar zu erkennen, dass der Extremwert der maximalen Körpertemperatur entspricht. Daher sind eine Überprüfung mithilfe der 2. Ableitung und eine Überprüfung der Randstellen nicht erforderlich.)
2. Teilaufgabe:
1 × D: für die richtige Begründung