Aufgabe 4267
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bäume - Aufgabe A_299
Teil a
Die Form des Blattes einer Buche laßt sich in einem Koordinatensystem näherungsweise durch die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und dem Graphen der Funktion g beschreiben.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 0,0047 \cdot {x^3} - 0,2 \cdot {x^2} + 1,28 \cdot x{\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant {x_N} \cr & g\left( x \right) = - f\left( x \right) \cr} \)
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Funktion g im Intervall [0; xN] ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Nullstelle xN.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie gemäß diesem Modell den Flächeninhalt dieses Blattes.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Bei gleichem x-Wert hat die Funktion g einen um die x-Achse gespiegelten y-Wert. Dh alle Funktionswerte von g sind gleich groß, haben aber ein negatives Vorzeichen. Kurz: Wir spiegeln die Funktion f um die x-Achse um die Funktion g zu erhalten.
2. Teilaufgabe:
Es handelt sich um eine Gleichung dritten Grades, die daher 3 Lösungen haben muss:
\(f\left( x \right) = 0,0047 \cdot {x^3} - 0,2 \cdot {x^2} + 1,28 \cdot x = 0\)
Die Berechnung der Nullstellen erfolgt mittels Technologieeinsatz:
- Geogebra: NLöse( 0.0047x³-0.2x²+1.28x )
- Wolfram Alpha: 0.0047x^(3)-0.2x^(2)+1.28x=
Die drei Lösungen lauten:
\(\eqalign{ & {x_1} = 0 \cr & {x_2} = {x_N} \approx 7,85 \cr & {x_3} \approx 34,71 \cr} \)
3. Teilaufgabe:
Die Fläche des Blattes entspricht der Fläche zwischen den Funktionen f und g=-f bzw. der doppelten Fläche zwischen f(x) und der x-Achse:
\(2 \cdot \int\limits_0^{7,84} {\left( {0,0047 \cdot {x^3} - 0,2 \cdot {x^2} + 1,28 \cdot x} \right)} \,\,dx = 23,30\)
Die Berechnung der Fläche erfolgt mittels Technologieeinsatz:
- Geogebra: 2Integral(0.0047x³ - 0.2x² + 1.28x, 0, 7.85)
- Wolfram Alpha: 2Integrate[(0.0047x^(3)-0.2x^(2)+1.28x),0,7.84]
→ Die Fläche eines Blattes beträgt ca. 23,3 Flächeneinheiten
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
2. Teilaufgabe:
Die gesuchte Nullstelle lautet: \({x_N} \approx 7,85\)
3. Teilaufgabe:
Die Fläche eines Blattes beträgt ca. 23,3 Flächeneinheiten
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
a1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Funktion g.
2. Teilaufgabe:
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Nullstelle xN.
3. Teilaufgabe:
a3) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Flächeninhalts.