Aufgabe 4266
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zirkus - Aufgabe A_298
Teil c
Die Dauer der Zirkusvorstellungen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 120 min und der Standardabweichung σ = 5 min.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zirkusvorstellung mindestens 118 min dauert.
[0 / 1 P.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zirkusvorstellung höchstens 125 min dauert, soll mithilfe der zugehörigen Dichtefunktion f bzw. mithilfe der zugehörigen Verteilungsfunktion F dargestellt werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie diejenige Darstellung an, die nicht dieser Wahrscheinlichkeit entspricht.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- 1. Darstellung:
\(0,5 + \int\limits_{120}^{125} {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- 2. Darstellung:
\(\int\limits_{ - \infty }^{125} {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- 3. Darstellung:
\(1 - F\left( {125} \right)\)
- 4. Darstellung:
Bild - 5. Darstellung:
Bild
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1.
Wir müssen die Fläche unter der Dichtefunktion einer Normalverteilung mit μ = 120, σ = 5 links vom Wert 118 berechnen. Da die Grenze mit 118 links vom Erwartungswert liegt, muss das Ergebnis größer als 0,5 und kleiner als 1 sein.
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Die Berechnung erfolgt mittels Technologieeinsatzes:
In Geogebra erhalten wir mittels der Ansicht „Wahrscheinlichkeitsrechner“ für μ = 120, σ = 5 und P(118 ≤ 118) das gesuchte Ergebnis zu:
\(P\left( {X \ge 118} \right) \approx 0,6554\)
→ Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 65,5 %.
2. Teilaufgabe:
Nachfolgende Darstellung zeigt gleichzeitig die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion der Normalverteilung
- Darstellung 1: Der 1. Summand entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion der Normalverteilung bis zum Erwartungswert und beträgt somit 0,5. Der 2. Summand umfasst die fehlende Fläche vom Erwartungswert bis zum rechts davon liegenden Wert von 125 Minuten. Die Darstellung ist daher korrekt und somit NICHT anzukreuzen
- Darstellung 2: Es wird die Fläche unter der Dichtefunktion der Normalverteilung von ganz links, also „minus Unendlich“ bis zum Wert von 125 Minuten aufintegriert. Die Darstellung ist daher korrekt und somit NICHT anzukreuzen
- Darstellung 3: 1 minus dem konkreten Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle X=125 entspricht nicht der Wahrscheinlichkeit dass eine zufällig ausgewählte Zirkusvorstellung höchstens 125 min dauert. Daher ist diese Darstellung nicht korrekt und somit anzukreuzen.
- Darstellung 4: Die Illustration stellt genau die Formel aus Darstellung 2 bildlich dar. Die Darstellung ist daher korrekt und somit NICHT anzukreuzen
- Darstellung 5: Die Illustration stellt den konkreten Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle X=125 dar. Die Darstellung ist daher korrekt und somit NICHT anzukreuzen
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 65,5 %.
2. Teilaufgabe:
- 1. Darstellung: korrekt und somit NICHT anzukreuzen
- 2. Darstellung: korrekt und somit NICHT anzukreuzen
- 3. Darstellung: nicht korrekt und somit anzukreuzen
- 4. Darstellung: korrekt und somit NICHT anzukreuzen
- 5. Darstellung: korrekt und somit NICHT anzukreuzen
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
2. Teilaufgabe:
c2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.