Aufgabe 4250
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sicherheit auf dem Schulweg - Aufgabe A_293
Im Nahbereich von Schulen stellen die zu- und abfahrenden Fahrzeuge ein großes Problem dar.
Teil c
Der relative Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, kann für einen bestimmten Zeitabschnitt modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( t \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^t}\)
mit:
- t ... Zeit ab Beginn der Beobachtung
- f(t) ... relativer Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, zur Zeit t
- b ... Parameter (b > 0, b ≠ 1)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters b auf das Monotonieverhalten der Funktion f.
[1 Punkt]
Folgende Berechnung wurde durchgeführt:
\(f\left( 0 \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^0} = 0,1 + 0 = 0,1\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, welcher Fehler bei dieser Berechnung gemacht wurde.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a=0,2 (die positiv und ungleich 1 ist ) und einem variablen Exponenten x bzw. in diesem Beispiel t
Der Einfluss vom Parameter b auf das Monotonieverhalten der Funktion f ist wie folgt:
- b < 1 ... f ist streng monoton fallend
- b > 1 ... f ist streng monoton steigend
Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:
2. Teilaufgabe:
Es wurde fälschlich b0 = 0 angenommen. Richtig wäre b0=1;
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Beschreibung des Einflusses des Parameters b auf das Monotonieverhalten:
- b < 1 ... f ist streng monoton fallend
- b > 1 ... f ist streng monoton steigend
2. Teilaufgabe:
Es wurde fälschlich b0 = 0 angenommen. Richtig wäre b0=1.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 x C1: für das richtige Beschreiben des Einflusses des Parameters b
2. Teilaufgabe:
1 x C2: für das richtige Beschreiben des Fehlers