Aufgabe 4245
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pflanzenwachstum - Aufgabe A_292
Teil a
Die Entwicklung der Höhe von vier verschiedenen Pflanzen wurde über einen Zeitraum von 20 Tagen beobachtet und lässt sich jeweils näherungsweise durch die Funktion f, g, h bzw. p beschreiben.
- t ... Zeit ab Beobachtungsbeginn in Tagen
- f(t), g(t), h(t), p(t) ... Höhe der entsprechenden Pflanze zur Zeit t in cm
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen dieser vier Funktionen.
Zur Zeit t = 20 sind diese vier Pflanzen gleich hoch.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die mittlere Änderungsrate der Höhe in Zentimetern pro Tag im Zeitintervall [0; 20].
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Aussagen 1 und 2 jeweils die entsprechende Funktion aus A bis D zu.
[2 zu 4] [1 Punkt]
- Aussage 1: Im Zeitintervall [0; 20] ist die 1. Ableitung streng monoton steigend.
- Aussage 2: Im Zeitintervall [0; 20] ist die 2. Ableitung immer negativ.
- Lösung A: f
- Lösung B: g
- Lösung C: h
- Lösung D:p
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall [0; 20] ist für alle 4 Pflanzen identisch, weil die Differenz der abhängigen und der unabhängigen Funktion jeweils ident sind. Geometrisch handelt es sich um die Steigung der Sekante bzw. um die Steigung der Geraden durch die Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) und \(\left( {20\left| 6 \right.} \right)\)
\(\Delta h = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{6 - 0}}{{20 - 0}} = \dfrac{6}{{20}} = 0,3\)
Die mittlere Änderungsrate für alle 4 Pflanzen beträgt jeweils 0,3 cm pro Tag.
2. Teilaufgabe:
Achtung: Die Fragen bezieht sich auf die 1. Ableitung f'(x) und auf die 2. Ableitung f''(x) nicht auf die in der Illustration dargestellte Funktion f(x) selbst. Wir wenden die Regeln für das grafische Differenzieren wie folg an. Detaillierte Erklärungen findest du im entsprechenden Grundlagenwissen. Klicke einfach auf des entsprechende Tag.
- Damit die 1. Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) streng monoton steigend ist muss f(x) linksgekrümmt bzw. positiv gekrümmt bzw. konvex sein → Funktion p → Lösung D
- Damit die 2. Ableitung f''(x) einer Funktion f(x) immer negativ ist, dh unter der x-Achse verläuft, muss f(x) rechtsgekrümmt bzw. negativ gekrümmt bzw. konkav sein → Funktion F → Lösung A
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die mittlere Änderungsrate für alle 4 Pflanzen beträgt jeweils 0,3 cm pro Tag.
2. Teilaufgabe
- Aussage 1: Lösung D bzw. Funktion p
- Aussage 2: Lösung A bzw. Funktion f
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 x B: für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate
2. Teilaufgabe
1 x C: für das richtige Zuordnen