Aufgabe 4244
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winterliche Fahrbahnverhältnisse im Straßenverkehr - Aufgabe A_143
Teil b
Auf einer geraden Teststrecke werden mit zwei PKWs Bremsversuche durchgeführt. Die beiden PKWs fahren dabei in die gleiche Richtung. Während der ersten 5 s des Bremsvorgangs werden die Abstande der beiden PKWs zu einer Markierungslinie gemessen. Diese Abstande können näherungsweise durch die nachstehenden Funktionen beschrieben werden:
\(\begin{array}{l} {s_A}\left( t \right) = - 2 \cdot {t^2} + 20 \cdot t + 12\\ {s_B}\left( t \right) = - 2 \cdot {t^2} + 24 \cdot t \end{array}\)
mit:
- sA(t) ... Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t in m
- sB(t) ... Abstand des PKW B zur Markierungslinie zur Zeit t in m
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t = 2.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass PKW A zur Zeit t = 3 langsamer als PKW B fährt.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir setzen t=2 in die gegebene Gleichung sA(t) wie folgt ein:
\(\begin{array}{l} {s_A}\left( t \right) = - 2 \cdot {t^2} + 20 \cdot t + 12\\ {s_A}\left( {t = 2} \right) = - 2 \cdot {2^2} + 20 \cdot 2 + 12 = - 8 + 52 = 44 \end{array}\)
→ Der Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t = 2 beträgt 44 m.
2. Teilaufgabe:
Die Geschwindigkeit entspricht der Änderung des Weges im entsprechenden Zeitintervall. Wir müssen daher die gegebene Weg-Zeitfunktion nach der Zeit ableiten und den Betrachtungszeitpunkt t=3 einsetzen:
Fahrzeug A:
\(\begin{array}{l} {s_A}\left( t \right) = - 2 \cdot {t^2} + 20 \cdot t + 12\\ {s_A}^\prime \left( t \right) = - 2 \cdot 2 \cdot t + 20\\ {s_A}^\prime \left( {t = 3} \right) = - 4 \cdot 3 + 20 = 8 \end{array}\)
Fahrzeug B:
\(\begin{array}{l} {s_B}\left( t \right) = - 2 \cdot {t^2} + 24 \cdot t\\ {s_B}^\prime \left( t \right) = - 2 \cdot 2 \cdot t + 24\\ {s_B}^\prime \left( {t = 3} \right) = - 4 \cdot 3 + 24 = 12 \end{array}\)
Nun bilden wir die Differenz: 8 - 12 = -4
→ PKW A fährt zur Zeit t = 3 (um 4 km/h) langsamer als PKW B.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t = 2 beträgt 44 m.
2. Teilaufgabe
PKW A fährt zur Zeit t = 3 (um 4 km/h) langsamer als PKW B.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen des Abstands
2. Teilaufgabe
1 × D: für das richtige Zeigen