Aufgabe 4243
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winterliche Fahrbahnverhältnisse im Straßenverkehr - Aufgabe A_143
Teil a
Die Bremswege eines PKW auf schneebedeckter sowie auf trockener Fahrbahn werden miteinander verglichen. Das nachstehende Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zeigt modellhaft den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit vS auf schneebedeckter Fahrbahn sowie den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit vT auf trockener Fahrbahn vom Reagieren der Bremse bis zum Stillstand des PKW.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe des obigen Diagramms die (negative) Beschleunigung auf schneebedeckter Fahrbahn.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Der Bremsweg ist diejenige Strecke, die der PKW vom Reagieren der Bremse (t = 0) bis zum Stillstand zurücklegt. Veranschaulichen Sie im obigen Diagramm den Bremsweg auf trockener Fahrbahn.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe des obigen Diagramms die Differenz zwischen dem Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn und dem Bremsweg auf trockener Fahrbahn.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Beschleunigung entspricht der Änderung der Geschwindigkeit im zugehörigen Zeitintervall. Eine negative Beschleunigung entspricht einer Verzögerung, als einer Verringerung der Geschwindigkeit, so wie das bei einem Bremsvorgang der Fall ist. Sie errechnet sich zu:
\(a = \dfrac{{\Delta {v_s}\left( t \right)}}{{\Delta t}} = \dfrac{{0 - 10}}{{7 - 0}} = - \dfrac{{10}}{7} \approx - 1,428\)
→ Die Beschleunigung beträgt rund –1,43 m/s2.
2. Teilaufgabe:
Der zurückgelegte Weg ergibt sich aus dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit gemäß:
\(s\left( t \right) = \int\limits_{{v_1}}^{{v_2}} {v\left( t \right)} \,\,dt\)
Das Integral entspricht wiederum der Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse.
3. Teilaufgabe:
Da die beiden Geschwindigkeitsfunktionen fallende Geraden sind, vereinfacht sich die Flächenberechnung auf die Flächenberechnung von rechtwinkeligen Dreiecken.
- Der Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn in m:
\({A_S} = \dfrac{{a \cdot {h_a}}}{2} = \dfrac{{10 \cdot 7}}{2} = 35\) - Der Bremsweg auf trockener Fahrbahn in m:
\({A_T} = \frac{{b \cdot {h_b}}}{2} = \frac{{10 \cdot 2,5}}{2} = 12,5\)
\(\Delta A = {A_S} - {A_T} = 35 - 12,5 = 22,5\)
→ Die Differenz zwischen dem Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn und dem Bremsweg auf trockener Fahrbahn beträgt 22,5 m.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Beschleunigung beträgt rund –1,43 m/s2.
2. Teilaufgabe
3. Teilaufgabe
Die Differenz zwischen dem Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn und dem Bremsweg auf trockener Fahrbahn beträgt 22,5 m.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Ermitteln der Beschleunigung auf schneebedeckter Fahrbahn. (Wird der Betrag der Beschleunigung angegeben, so ist dies ebenfalls als richtig zu werten.)
2. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Veranschaulichen des Bremswegs auf trockener Fahrbahn
3. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Ermitteln der Differenz der Bremswege