Aufgabe 4238
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rund um die Heizung - Aufgabe A_140
Teil a
Die nachstehende Abbildung zeigt einen waagrecht gelagerten, zylinderförmigen Öltank in der Ansicht von vorne. Der Punkt M ist der Mittelpunkt des dargestellten Kreises mit dem Radius r .
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von r und α eine Formel zur Berechnung der Füllhöhe h.
h =
[1 Punkt]
Für das Volumen V eines 2 m langen Öltanks gilt:
\(V = {r^2} \cdot \pi \cdot 2\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen größer wäre, wenn der Radius um 20 % größer wäre.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir suchen nach einem geeigneten rechtwinkeligen Hilfsdreieck von dem wir 2 Bestimmungsstücke kennen um das Dritte ausrechnen zu können. Es bietet sich die Hypotenuse r und der Winkel \({\dfrac{\alpha }{2}}\) an. Die Füllhöhe h entspricht dem Radius r minus der Ankathete vom Winkel \({\dfrac{\alpha }{2}}\) im eingezeichneten Hilfsdreieck
Somit können wir die gesuchte Gleichung wie folgt anschreiben:
\(h = r - r \cdot cos\left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right)\)
2. Teilaufgabe:
Wir fassen die Konstanten zusammen und ersetzen dann den Radius durch den 1,2-fachen Radius.
\(\begin{array}{l} V = {r^2} \cdot \pi \cdot 2\\ {r_{neu}} = 1,2 \cdot r\\ {V_{neu}} = {\left( {1,2 \cdot r} \right)^2} \cdot \pi \cdot 2 = 1,44 \cdot \left( {{r^2} \cdot \pi \cdot 2} \right) = 1,44 \cdot V \end{array}\)
→ Wenn sich der Radius um 20% vergrößert, dann wird das Volumen um 44 % größer.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(h = r - r \cdot cos\left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right)\)
2. Teilaufgabe
Wenn sich der Radius um 20% vergrößert, dann wird das Volumen um 44 % größer.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
2. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen des Prozentsatzes