Aufgabe 4216
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Standseilbahnen - Aufgabe A_290
Teil b
Bei den meisten Standseilbahnen gibt es in der Mitte der Strecke eine Ausweichstelle, bei der der talwärts fahrende Wagen dem bergwärts fahrenden Wagen ausweichen kann. In der nachstehenden Abbildung ist eine solche Ausweichstelle modellhaft dargestellt.
Der Funktionsgraph von f schließt an den Stellen 0 und 3 knickfrei an die eingezeichneten Geradenstücke an. „Knickfrei“ bedeutet, dass die Funktionen an denjenigen Stellen, an denen ihre Graphen aneinander anschließen, den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben. Für die Funktion f gilt:
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
x, f(x) … Koordinaten in m
Die Koeffizienten a, b, c und d können mithilfe eines linearen Gleichungssystems berechnet werden. Der Ansatz für zwei der benötigten Gleichungen lautet:
\(\begin{array}{l} Gl.1:\,\,\,27 \cdot a + 9 \cdot b + 3 \cdot c + d = {\rm{Zah}}{{\rm{l}}_1}\\ Gl.2:\,\,\,27 \cdot a + 6 \cdot b + c = {\rm{Zah}}{{\rm{l}}_2} \end{array}\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Vervollständigen Sie mithilfe der obigen Abbildung die beiden Gleichungen, indem Sie jeweils die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen schreiben. [
2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert des Koeffizienten d ab.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Schritt 1: Indem wir die gegebene Funktionsgleichung
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
mit der Gl. 1 vergleichen, können wir sehen, dass es sich bei Gl.1 um die Funktionsgleichung an der Stelle x=3 handeln muss
\(f\left( {x = 3} \right) = a \cdot {3^3} + b \cdot {3^2} + c \cdot 3 + d = 27 \cdot a + 9 \cdot b + 3 \cdot c + d = Gl.1\)
Den Funktionswert f(x=3) können wir aus der Illustration mit y=f(x)=1 ablesen.
→ Somit kennen wir die Zahl1: Zahl1=1
Schritt 2: Indem wir die gegebene Funktionsgleichung
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
mit der Gl. 2 vergleichen, sehen wir, dass die Konstante d weggefallen ist und vor c kein Faktor mehr steht. Genau das passiert, wenn man f(x) einmal ableitet:
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 3 \cdot a \cdot {x^2} + 2 \cdot b \cdot x + c\\ f'\left( {x = 3} \right) = 3 \cdot a \cdot {3^2} + 2 \cdot b \cdot 3 + c = 27 \cdot + 6 \cdot b + c \end{array}\)
Den Funktionswert f‘(x=3) können wir aus der Illustration ablesen. Er entspricht nämlich der Steigung k an der Stelle x=3. Da die Funktion dort „knickfrei“ ist, muss die Funktion f(x) horizontal sein, und daher muss k=0 sein.
→ Somit kennen wir die Zahl2: Zahl2=0
2. Teilaufgabe
Der gesuchte Koeffizient d ist der Funktionswert an der Stelle x=0, gemäß
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\\ f\left( {x = 0} \right) = a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 2\\ d = 2 \end{array}\)
→ Der gesuchte Koeffizient ergibt sich zu d=2
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Zahl1=1
- Zahl2=0
2. Teilaufgabe
- d=2
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A1: für das richtige Vervollständigen der ersten Gleichung
1 × A2: für das richtige Vervollständigen der zweiten Gleichung
2. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Ablesen von d