Aufgabe 4206
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eiffelturm - Aufgabe A_287
Teil a
Die Metallkonstruktion des Eiffelturms hat eine Masse von 7 300 Tonnen, das sind \(7,3 \cdot {10^x}\) Kilogramm.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie den fehlenden Exponenten.
[1 Punkt]
Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V, also \(m = \rho \cdot V\). Das Metall des Eiffelturms hat eine Dichte von 7 800 kg/m3. Die Grundfläche des Eiffelturms ist quadratisch und hat eine Seitenlange von 125 m. Stellen Sie sich vor, die Metallkonstruktion des Eiffelturms wurde eingeschmolzen und zu einem Quader mit der gleichen Grundfläche gegossen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie die Höhe dieses Quaders in Zentimetern.
[2 Punkte]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir rechnen 1t in 1 000 kg um, und verwenden ausschließlich die Schreibweise mit Zehnerpotenzen, da man damit sehr einfach rechnen kann:
\(\begin{array}{l} 1t = 1\,000kg = 1 \cdot {10^3}kg\\ 7\,300t = 7\,300 \cdot 1\,000kg = 7,3 \cdot {10^3} \cdot 1 \cdot {10^3}kg = 7,3 \cdot {10^{3 + 3}}kg = 7,3 \cdot {10^6}kg \end{array}\)
→ Der fehlende Exponent lautet „6“
2. Teilaufgabe:
Die Masse ist das Produkt aus Dichte und Volumen. Das Volumen ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe. Wir kennen die Masse, die Dichte und die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und können wie folgt die Höhe vom Quader ausrechnen.
\(\eqalign{ & m = \rho \cdot V{\text{ und V = A}} \cdot {\text{h}} \cr & V = \dfrac{m}{\rho } = A \cdot h = \left( {125 \cdot 125} \right) \cdot h \cr & \dfrac{m}{\rho } = A \cdot h \cr & \frac{{7,3 \cdot {{10}^6}}}{{7,8 \cdot {{10}^3}}} = \left( {15,625 \cdot {{10}^3}} \right) \cdot h \cr & h = \dfrac{{7,3 \cdot {{10}^6}}}{{7,8 \cdot {{10}^3} \cdot 15,625 \cdot {{10}^3}}}m = \dfrac{{7,3}}{{7,8 \cdot 15,625}}m = 0,0599m = 5,99cm \approx 6cm \cr} \)
→ Der Quader wäre knapp 6 cm hoch.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der fehlende Exponent lautet „6“. Die Masse vom Eiffelturm beträgt somit \(7,3 \cdot {10^6}kg\)
2. Teilaufgabe
Der Quader wäre knapp 6 cm hoch.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A1: für das richtige Eintragen des Exponenten
2. Teilaufgabe
1 × A2: für den richtigen Ansatz (richtige Anwendung der Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders auf den gegebenen Sachverhalt)
1 × B: für das richtige Berechnen der Höhe in Zentimetern