Aufgabe 4183
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gewitter
Teil b
Um Gebäude vor Blitzeinschlägen zu schützen, werden Blitzableiter verwendet. Dabei wird eine Metallstange, die sogenannte Fangstange, auf dem Gebäude senkrecht montiert. Der höchste Punkt einer solchen Fangstange kann als Spitze eines drehkegelförmigen Schutzbereichs angesehen werden. Alle Objekte, die sich vollständig innerhalb dieses Schutzbereichs befinden, sind vor direkten Blitzeinschlägen geschützt.
Bild
- h … Höhe der Fangstange
- α … Schutzwinkel
- r … Radius der Grundfläche des Schutzbereichs
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Radius r aus α und h.
r=
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Auf einem Flachdach ist eine 2 m hohe Fangstange senkrecht montiert. 3 m vom Fußpunkt der Fangstange entfernt steht eine 1,2 m hohe Antenne senkrecht auf dem Flachdach. Der Schutzwinkel beträgt 77°.
Überprüfen Sie nachweislich, ob sich diese Antenne vollständig innerhalb des Schutzbereichs befindet.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Es liegt ein rechtwinkeliges Dreieck vor. In Relation zum Schutzwinkel α ist h die Ankathete und r die Gegenkathete. Es bietet sich daher an mit dem Tangens zu arbeiten:
\(\begin{array}{l} \tan \alpha = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Ankathete}}}} = \dfrac{r}{h}\\ r = h \cdot \tan \alpha \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Wir verwenden die in der 1. Teilaufgabe angeführte Formel und formen wie folgt um:
\(\begin{array}{l} r = h \cdot \tan \alpha \\ \\ r = 3{\rm{ m}}\\ \alpha = 77^\circ \\ h = ges.\\ \\ h = \dfrac{r}{{\tan \alpha }} = \dfrac{3}{{\tan \left( {77^\circ } \right)}} \approx 0,69{\rm{ m}} \end{array}\)
Dh.: Damit die Fangstange mit einem Schutzwinkel von 77° in einer horizontalen Entfernung von 3m noch erfolgreich schützt, muss sie die Antenne um 0,69 m überragen.
Da die Antenne selbst 1,2 m hoch ist muss die Fangstange mindestens 1,2 m + 0,69 m=1,89 m noch sein. Da die Fangstange aber sogar 2 m hoch ist, befindet sich die 1,2m hohe Antenne zur Gänze in ihrem Schutzbereich.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Bild
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(r = h \cdot \tan \left( \alpha \right)\)
2. Teilaufgabe
Die 1,2 m hohe Antenne befindet sich im Schutzbereich der Fangstange
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Radius r
2. Teilaufgabe
1 × D: für die richtige nachweisliche Überprüfung. Auch eine Überprüfung mithilfe einer exakten Zeichnung ist als richtig zu werten.