Aufgabe 4178
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Pauliberg - Aufgabe A_067
Der Pauliberg ist Österreichs jüngster erloschener Vulkan und ein beliebtes Ausflugsziel im Burgenland.
Teil c
Unweit des Paulibergs liegt die Burgruine Landsee. Diese kann für private Veranstaltungen gemietet werden. Die Raummiete für eine Veranstaltung beträgt € 450. Zusätzlich sind pro teilnehmender Person € 1,50 zu bezahlen.
Die Gesamtkosten (in €) sollen in Abhängigkeit von der Anzahl der teilnehmenden Personen x durch eine lineare Kostenfunktion K beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Funktionsgleichung von K.
[1 Punkt]
Der Vermieter schlägt eine neue Preisgestaltung vor. Zur Veranschaulichung wurde das folgende Diagramm erstellt:
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, ab welcher Anzahl an teilnehmenden Personen die Gesamtkosten mit der neuen Preisgestaltung höher als bisher sind.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Kostenfunktion beschreibt die gesamten Kosten als Summe der Fixkosten und der variablen Kosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge. Die Kosten setzen sich aus dem variablen - also besucherzahlabhängigen Anteil- und dem fixen also besucherzahlunabhängigen Anteil zusammen. Man kann wie folgt formulieren:
\(K\left( x \right) = {K_{Var}} + {K_{Fix}} = 1,5 \cdot x + 450\)
2. Teilaufgabe:
Die bisherige Kostenfunktion gemäß der 1. Teilaufgabe lautete:
\(K\left( x \right) = {K_{Var}} + {K_{Fix}} = 1,5 \cdot x + 450\)
Dieser Kostenfunktion entnehmen wir den Achsenabstand d=450 und die positive Steigung k=1,5. Mit Hilfe dieser beiden Werte können wir die bisherige Kostenfunktion in das Diagramm einzeichnen. Achtung beim Einzeichnen der Steigung: Die x-Achse ist in 10-er während die y-Achse in 50-ter Schritten eingezeichnet!
Die Lösung können wir am Schnittpunkt der beiden Geraden ablesen:
→ Bei mehr als 50 teilnehmenden Personen sind die Gesamtkosten mit der neuen Preisgestaltung höher als bisher.
Alternativ können wir aus dem Diagramm auch die Gleichung der neuen Kostenfunktion ablesen:
\(\eqalign{ & k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{250}}{{100}} \cr & d = 400 \cr & {K_{{\text{neu}}}}\left( x \right) = 2,5 \cdot x + 400 \cr} \)
Wenn wir die beiden Funktionen gleichsetzen, erhalten wir den Schnittpunkt der beiden Kostenfunktionen zu:
\(\eqalign{ & 2,5 \cdot x + 400 = 1,5 \cdot x + 450 \cr & x = 50 \cr} \)
→ Bei mehr als 50 teilnehmenden Personen sind die Gesamtkosten mit der neuen Preisgestaltung höher als bisher.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(K\left( x \right) = {K_{Var}} + {K_{Fix}} = 1,5 \cdot x + 450\)
2. Teilaufgabe
Bei mehr als 50 teilnehmenden Personen sind die Gesamtkosten mit der neuen Preisgestaltung höher als bisher.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung von K
2. Teilaufgabe:
1 × C: für das richtige Ermitteln der Anzahl der teilnehmenden Personen
(Toleranzbereich: [40; 60])