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Aufgabe 1795

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sinusfunktion
Gegeben ist eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{\pi \cdot x}}{b}} \right){\text{ mit }}a,b \in {R^ + }\) 


Aufgabenstellung
Ergänzen Sie in der nachstehenden Abbildung a und b auf der jeweils entsprechenden Achse so, dass der abgebildete Graph dem Graphen der Funktion f entspricht.   [0 / 1 Punkt]

Funktion f f(x) = 2sin(x) f Text1 = “f”

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Lösungsweg

  • a ist die Amplitude der Schwingung, also deren Maximalauslenkung in Richtung der y-Achse
  • b bewirkt eine Streckung der Sinusschwingung

Entwickeln wir nun eine Vorstellung was b bewirkt:

  • Die Grundfunktion des Sinus besitzt die Eigenschaft, dass \(\sin \left( {n \cdot \pi } \right) = 0\) gilt.  Wäre b=1 erhielte man so die gewohnte Form \(\sin \left( {x \cdot \pi } \right) = 0\) mit den Nullpunkten bei x=0, 1, 2, 3, …. . Startet man bei x=0, so ist ersichtlich, dass der nächstgelegene Nullpunkt bei x=1 liegt.
  • Soll dieser erste Nullpunkt nun aber nicht bei x=1 liegen, sondern bei x=2 liegen (der Sinus wäre also auf die doppelte Periodenlänge gestreckt), so müsste im Sinus der Faktor ½ ins Argument kommen - man erhält für den Sinus mit dem ersten Nulldurchgang bei x=2 also die Formel \(\sin \left( {\dfrac{x}{2} \cdot \pi } \right)\) - hier wäre also b=2.

Funktion f f(x) = sin(π x) Funktion g g(x) = sin(π x / 2) $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$ Text1 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{1}} \right)$” b Text2 = “b” b Text4 = “b” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$” $f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$ Text1_2 = “$f = \sin \left( {\frac{{\pi \cdot x}}{2}} \right)$”

  • Soll nun die erste Nullstelle des Sinus nicht bei x=1 liegen, wie es bei \(\sin \left( {\dfrac{x}{1} \cdot \pi } \right)\) war (hier könnte man sagen b=1) und auch nicht bei x=2 wie es bei \(\sin \left( {\dfrac{x}{2} \cdot \pi } \right)\) war, sondern an der beliebigen Stelle x=b, so brauchen wir folglich den Faktor 1/b im Argument des Sinus, also \(\sin \left( {\dfrac{x}{b} \cdot \pi } \right)\) für die erste Nullstelle bei x=b

Funktion f f(x) = 2sin(x) f Text1 = “f” a Text2 = “a” b Text3 = “b”

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:
Funktion f f(x) = 2sin(x) f Text1 = “f” a Text2 = “a” b Text3 = “b”


Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Ergänzung von a und b.

randomness