Haupt-Reiter

Aufgabe 1794

War diese Information hilfreich?

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Verzinsung
Ein Kapital K0 wird auf einem Sparbuch mit 1 % p. a. (pro Jahr) verzinst. Für die nachstehende Aufgabenstellung gilt die Annahme, dass allfällige Steuern oder Gebühren nicht gesondert berücksichtigt werden müssen und dass keine weiteren Einzahlungen oder Auszahlungen erfolgen.


Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, in wie vielen Jahren sich das Kapital K0 bei gleichbleibendem Zinssatz verdoppelt. [0 / 1 Punkt]

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Lösungsweg

Die nachfolgende Formel dient zur Beantwortung der Fragestellung für wie viele Jahre n man ein Anfangskapital K0 bei einem Zins von p% veranlagen muss, damit man das Endkapital Kn erhält.

\(n = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log q}} = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}}\)

Gemäß der Aufgabenstellung gilt: \({K_n} = 2 \cdot {K_0}\)  und p=1%

\(n = \dfrac{{\log \dfrac{{2{K_0}}}{{{K_0}}}}}{{\log \left( {1 + \dfrac{1}{{100}}} \right)}} = \dfrac{{\log 2}}{{\log 1,01}} = 69,7\)

Das Kapital K0 verdoppelt sich bei einem Zinssatz von 1% in 69,7 Jahren.


Anmerkung:
Falls man keine Formelsammlung zur Verfügung hat, kann man sich obige Formel wie folgt selbst herleiten:

  • Am Anfang vom 1. Jahr beträgt das Kapital: K0
  • Am Ende vom 1. Jahr beträgt das Kapital: \({K_1} = {K_0} + {K_0} \cdot 0,01 = {K_0} \cdot 1,01\)
  • Am Ende vom 2. Jahr beträgt das Kapital: \({K_2} = {K_1} \cdot 0,01 = \left( {{K_0} \cdot 1,01} \right) \cdot 1,01 = {K_0} \cdot {1,01^2}\)
  • Am Ende vom n.ten Jahr beträgt das Kapital: \({K_n} = {K_0} \cdot {1,01^n}\)

Wir wollen wissen, nach wie vielen Jahren n eine Verdoppelung von K0 erfolgt: \({K_n} = 2 \cdot {K_0}\)

\(\eqalign{ & q = 1,01 \cr & {K_n} = 2 \cdot {K_0} = {K_0} \cdot {q^n} \to 2 = {q^n} \to \ln 2 = n \cdot \ln q \to n = \dfrac{{\ln 2}}{{\ln q}} = \dfrac{{\ln 2}}{{\ln 1,01}} = 69,7 \cr} \)

Das Kapital K0 verdoppelt sich bei einem Zinssatz von 1% in 69,7 Jahren.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:
Das Kapital K0 verdoppelt sich bei einem Zinssatz von 1% in 69,7 Jahren.


Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Jahr“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [69 Jahre; 70 Jahre]

randomness