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Aufgabe 1793

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Bruttogehalt und Nettogehalt
Auf der Website des Finanzministeriums findet man einen Brutto-Netto-Rechner, der für jedes monatliche Bruttogehalt das entsprechende Nettogehalt berechnet.

Folgende Tabelle gibt Auskunft über einige Gehälter:

Bruttogehalt in € 1 500 2 000 2 500
Nettogehalt in € 1 199 1 483 1 749

Aufgabenstellung:
Zeigen Sie unter Verwendung der in der obigen Tabelle angeführten Werte, dass zwischen dem Bruttogehalt und dem Nettogehalt kein linearer Zusammenhang besteht.  [0 / 1 Punkt]

Lösungsweg

1. Variante
Es besteht kein linearer Zusammenhang, da eine konstante Zunahme des Bruttogehalts (jeweils € 500) keine konstante Erhöhung des Nettogehalts (nämlich € 284 bzw. € 266) bewirkt.

2. Variante:
Man kann auch den Differenzenquotienten berechnen. Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe zur Veränderung einer unabhängigen Größe.

xi unabhängige Variable = Bruttogehalt yi abhängige Variable = Nettogehalt
1 500 1 199
 2 000 1 483
2 500 1 749

\(\eqalign{ & {k_{1,2}} = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{1483 - 1199}}{{2000 - 1500}} = 0,568 \cr & {k_{2,3}} = \dfrac{{{y_3} - {y_2}}}{{{x_3} - {x_2}}} = \dfrac{{1749 - 1483}}{{2500 - 2000}} = 0,532 \cr & {k_{1,2}} \ne {k_{2,3}} \cr} \)

Auf Grund der unterschiedlichen mittleren Änderungsraten besteht kein linearer Zusammenhang.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:
Es besteht kein linearer Zusammenhang, da die gleiche Zunahme des Bruttogehalts (jeweils € 500) nicht die gleiche Erhöhung des Nettogehalts (€ 284 bzw. € 266) bewirkt.


Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen richtigen Nachweis unter Verwendung der angeführten Werte.

randomness