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Aufgabe 1791

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Funktionale Zusammenhänge
Gegeben ist die Gleichung \(w = \dfrac{{y \cdot {z^2}}}{{2 \cdot x}}{\text{ mit }}w,x,y,z \in {{\Bbb R}^ + }\)

Die gegebene Gleichung beschreibt funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Variablen, wenn die beiden anderen Variablen als konstant angenommen werden.


Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.  [0 / 1 Punkt]

  • Aussage 1: Betrachtet man z in Abhängigkeit von x, so ist z: \(z:\,\,\,\,\,{{\Bbb R}^ + } \to {{\Bbb R}^ + },\,\,\,\,\,x \to z\left( x \right)\) eine Exponentialfunktion
  • Aussage 2: Betrachtet man w in Abhängigkeit von z, so ist w: \(w:\,\,\,\,\,{{\Bbb R}^ + } \to {{\Bbb R}^ + },\,\,\,\,\,z \to w\left( z \right)\) eine quadratische Funktion
  • Aussage 3: Betrachtet man w in Abhängigkeit von x, so ist w: \(w:\,\,\,\,\,{{\Bbb R}^ + } \to {{\Bbb R}^ + },\,\,\,\,\,x \to w\left( x \right)\) eine lineare Funktion
  • Aussage 4: Betrachtet man y in Abhängigkeit von z, so ist y: \(y:\,\,\,\,\,{{\Bbb R}^ + } \to {{\Bbb R}^ + },\,\,\,\,\,z \to y\left( z \right)\) eine Polynomfunktion vom Grad 2
  • Aussage 5: Betrachtet man x in Abhängigkeit von y, so ist x: \(x:\,\,\,\,\,{{\Bbb R}^ + } \to {{\Bbb R}^ + },\,\,\,\,\,y \to x\left( y \right)\)  eine lineare Funktion

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Lösungsweg

In der gegebenen Gleichung \(w = \dfrac{{y \cdot z}}{{2 \cdot x}}\) wechseln sich die Konstanten und die Variablen ab. Wir werden die Gleichung daher jeweils so umformen, dass die Konstanten und die Variablen getrennt von einander angeschrieben sind

  • Aussage 1: Falsch, weil x ist Funktionsargument, z(x) ist Funktionswert und w, y sind Konstante 
    \(w = \dfrac{{y \cdot {z^2}}}{{2 \cdot x}}{\text{ }} \to {z^2}\left( x \right) = \dfrac{{w \cdot 2}}{y} \cdot x \to z\left( x \right) = \sqrt {\dfrac{{w \cdot 2}}{y} \cdot x} \) Es handelt sich um eine Wurzelfunktion
  • Aussage 2: Richtig, weil z ist Funktionsargument, w(z) ist Funktionswert und x, y sind Konstante 
    \(w = \dfrac{{y \cdot {z^2}}}{{2 \cdot x}}{\text{ }} \to w\left( z \right) = \dfrac{y}{{2x}} \cdot {z^2}\) Es handelt sich um eine quadratische Funktion
  • Aussage 3: Falsch, weil x ist Funktionsargument, w(x) ist Funktionswert und y, z sind Konstante
    \(w = \dfrac{{y \cdot {z^2}}}{{2 \cdot x}}{\text{ }} \to w\left( x \right) = \dfrac{{y \cdot {z^2}}}{2} \cdot \dfrac{1}{x}\) Es handelt sich um eine Hyperbelfunktion
  • Aussage 4: Falsch, weil z ist Funktionsargument, y(z) ist Funktionswert und w, x sind Konstante
    \(w = \dfrac{{y \cdot {z^2}}}{{2 \cdot x}}{\text{ }} \to y\left( z \right) = w \cdot 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{{{z^2}}}\) Es handelt sich um eine Hyperbelfunktion
  • Aussage 5: Richtig, weil y ist Funktionsargument, x(y) ist Funktionswert und w, z sind Konstante
    \(w = \dfrac{{y \cdot {z^2}}}{{2 \cdot x}}{\text{ }} \to x\left( y \right) = \dfrac{{{z^2}}}{{2 \cdot w}} \cdot y\)  Es handelt sich um eine lineare Funktion
     

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Aussage 1: Falsch
  • Aussage 2: Richtig
  • Aussage 3: Falsch
  • Aussage 4: Falsch
  • Aussage 5: Richtig

Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

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