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Aufgabe 1790

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Gewinnfunktion
Die unten stehende Abbildung zeigt eine lineare Kostenfunktion \(K:x \to K\left( x \right)\) une eine lineare Erlösfunktion \(E:x \to E\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {0;6} \right]\)

Für die Gewinnfunktion \(G:x \to G\left( x \right)\)  gilt für alle \(x \in \left[ {0;6} \right]:\,\,\,\,\,G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)


Aufgabenstellung
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen von G ein. [0 / 1 Punkt]

Strahl f Strahl f: Strahl durch A, B Strahl g Strahl g: Strahl durch C, B K Text1 = “K” E Text2 = “E”

Lösungsweg

Die Gleichung \(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\) besagt, dass sich der Gewinn aus dem Erlös ("Einnahmen") miuns den Kosten ("Ausgaben") errechnet. 


Grafische Lösung:

  • Wenn man von den linearen Funktionswerten vom Erlös die linearen Funktionswerte von den Kosten abzieht erhält man die lineare Funktion vom Gewinn
  • Für eine linearen Funktion benötigen wir 2 Punkte. Wir wählen natürlich besonders einfache Punkte
    • x=0: G(x=0)=0-3=-3 → \({P_1}\left( {0\left| { - 3} \right.} \right)\)
    • x=5: G(x=5)=6-6=0 → \({P_2}\left( {5\left| 0 \right.} \right)\)


Rechnerische Lösung:

  • \(E\left( x \right) = kx + d\) mit \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{6}{5}\)  und \(d = E\left( {x = 0} \right) = 0\)  → \(E\left( x \right) = \dfrac{6}{5}x\)
  • \(K\left( x \right) = kx + d\) mit \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{5}\)  und \(d = K\left( {x = 0} \right) = 3\) → \(K\left( x \right) = \dfrac{3}{5}x + 3\)
  • \(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right) = \dfrac{6}{5}x - \left[ {\dfrac{3}{5}x + 3} \right] = \dfrac{3}{5}x - 3\)

Zeichnet man obige Lösungen ein, so erhält man folgende Illustration:
Strahl f Strahl f: Strahl durch A, B Strahl g Strahl g: Strahl durch C, B Strahl h Strahl h: Strahl durch D, E K Text1 = “K” E Text2 = “E” G Text3 = “G”

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:
Strahl f Strahl f: Strahl durch A, B Strahl g Strahl g: Strahl durch C, B Strahl h Strahl h: Strahl durch D, E K Text1 = “K” E Text2 = “E” G Text3 = “G”


Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Darstellung des Graphen der Funktion G, wobei G eine lineare Funktion sein muss, deren Graph durch die beiden Punkte (0 | –3) und (5 | 0) verläuft.