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Aufgabe 1675

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sinusfunktion
Für \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) sei die Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) für \(x \in {\Bbb R}\) gegeben. Die beiden nachstehenden Eigenschaften der Funktion f sind bekannt:

  • Die (kleinste) Periode der Funktion f ist π.
  • Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Funktionswert von f beträgt 6.

Aufgabenstellung
Geben Sie a und b an!

  • a =
  • b =

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Änderung von Parametern einer Schwingung

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d

Lösungsweg

Periodendauer b:

  • b=1 → Periodendauer \(T = 2\pi\)
  • b=2 → Periodendauer \(T = \pi \) ⇒ Die Periodendauer ist halb so lang, die Frequenz ist doppelt so hoch ⇒ b=2
  • b → Periodendauer \(T = \dfrac{{2\pi }}{b}\)

Amplitude a:

  • Wenn die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Funktionswert von f 6 beträgt, so ist das der Wert zwischen der positiven und der negativen Amplitude. Daher ergibt sich der Wert (einer) Amplitude a zu: \(a = \dfrac{6}{2} = 3\) also a=3

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • a=3
  • b=2

Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.

randomness