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Aufgabe 1674

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Zellkulturen
Im Rahmen eines biologischen Experiments werden sechs Zellkulturen günstigen und ungünstigen äußeren Bedingungen ausgesetzt, wodurch die Anzahl der Zellen entweder exponentiell zunimmt oder exponentiell abnimmt. Dabei gibt Ni (t) die Anzahl der Zellen in der jeweiligen Zellkultur t Tage nach Beginn des Experiments an.
(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).


Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier beschriebenen Veränderungen (I, II, III, IV) jeweils die zugehörige Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!

\({N_1}\left( t \right) = {N_1}\left( 0 \right) \cdot {0,15^t}\) A
\({N_2}\left( t \right) = {N_2}\left( 0 \right) \cdot {0,5^t}\) B
\({N_3}\left( t \right) = {N_3}\left( 0 \right) \cdot {0,85^t}\) C
\({N_4}\left( t \right) = {N_4}\left( 0 \right) \cdot {1,5^t}\) D
\({N_5}\left( t \right) = {N_5}\left( 0 \right) \cdot {1,85^t}\) E
\({N_6}\left( t \right) = {N_6}\left( 0 \right) \cdot {2^t}\) F
  • Veränderung I: Die Anzahl der Zellen verdoppelt sich pro Tag.
  • Veränderung II: Die Anzahl der Zellen nimmt pro Tag um 85 % zu.
  • Veränderung III: Die Anzahl der Zellen nimmt pro Tag um 85 % ab.
  • Veränderung IV: Die Anzahl der Zellen nimmt pro Tag um die Hälfte ab.

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Exponentielles Wachstum bzw. exponentieller Zerfall \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}\) bedeuten, dass

  1. ein Startwert N0
  2. um einen prozentuellen / relativen Anteil a
  3. pro Zeiteinheit \(\Delta t\)

anwächst / absinkt.

  • Wachstum: a>1 a=1,35 bedeutet 35% Wachstum pro Zeiteinheit
  • Zerfall: 0<a<1 a=0,85 bedeutet (100%-85%=) 15% bzw. a=0,15 Zerfall pro Zeiteinheit

Lösungsweg

  • Veränderung 1: Verdoppelung pro Tag: a=2: \(N\left( t \right) = N\left( 0 \right) \cdot {2^t}\)Lösung F
  • Veränderung 2: 85% Zunahme: a=0,85: \(N\left( t \right) = N\left( 0 \right) \cdot {1,85^t}\)Lösung E
  • Veränderung 3: 85% Abnahme: (100%-85%=)15% bzw a=0,15: \(N\left( t \right) = N\left( 0 \right) \cdot {0,15^t}\)Lösung A
  • Veränderung 4: Halbierung pro Tag: (100%-50%=)50% bzw. a=0,5: \(N\left( t \right) = N\left( 0 \right) \cdot {0,5^t}\)Lösung B

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Veränderung 1: Lösung F
  • Veränderung 2: Lösung E
  • Veränderung 3: Lösung A
  • Veränderung 4: Lösung B

Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier beschriebenen Veränderungen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

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