Haupt-Reiter

Aufgabe 1673

War diese Information hilfreich?

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Polynomfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f.

Funktion f f(x) = 0.01 (x + 7.1) (x - 5.1) (x)² f Text2 = “f”


Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum es sich bei der dargestellten Funktion nicht um eine Polynomfunktion dritten Grades handeln kann!

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Grad einer Polynomfunktion

  • Für jede Extremstelle erhöht sich der Grad der Polynomfunktion von 1 um +1
  • Für jeden Sattelpunkt oder jeden Wendepunkt erhöht sich der Grad der Polynomfunktion zusätzlich um +2
  • Grad einer Funktion = Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt)

Lösungsweg

Mögliche Begründungen lauten:

  • Eine Polynomfunktion dritten Grades hat höchstens zwei lokale Extremstellen, während die dargestellte Funktion drei lokale Extremstellen besitzt.
  • Eine Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle, während die dargestellte Funktion zwei Wendestellen besitzt
  • Eine Polynomfunktion dritten Grades hat genau 3 Nullstellen, wenn diese mit ihrer Vielfachheit gezählt werden, während die dargestellte Funktion 2 Nullstellen und an der Stelle x≈0 eine Nullstelle der Vielfachheit 2, also 4 Nullstellen hat.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Eine Polynomfunktion dritten Grades hat höchstens zwei lokale Extremstellen, während die dargestellte Funktion drei lokale Extremstellen besitzt.
  • Eine Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle, während die dargestellte Funktion zwei Wendestellen besitzt
  • Eine Polynomfunktion dritten Grades hat genau 3 Nullstellen, wenn diese mit ihrer Vielfachheit gezählt werden, während die dargestellte Funktion 2 Nullstellen und an der Stelle x≈0 eine Nullstelle der Vielfachheit 2, also 4 Nullstellen hat.

Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

randomness