Aufgabe 1083
AHS - 1_083 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion 3. Grades
Gegeben ist die Polynomfunktion 3. Grades \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\text{ mit a}}{\text{,}}\,\,{\text{b}}{\text{,}}\,\,{\text{c}}{\text{,}}\,\,{\text{d}} \in \mathbb{R}{\text{ und }}a \ne 0\)
Wie viele reelle Nullstellen kann diese Funktion besitzen?
- Aussage 1: keine
- Aussage 2: mindestens eine
- Aussage 3: höchstens drei
- Aussage 4: genau vier
- Aussage 5: unendlich viele
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat jede Polynomfunktion 3. Grades genau 3 Lösungen. Es ist dabei möglich, dass keine oder 2 Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen liegen. Somit ist die Anzahl der reellen Nullstellen "mindestens eine" und "höchstens drei". Entsprechend bewerten wir die 5 Aussagen wie folgt:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, da es 1 oder 3 Nullstellen sein müssen
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil es 1 reelle (und 2 komplexe) Nullstellen sein können
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil es höchstens 3 (oder 1) reelle Nullstellen sein können
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, da es 1 oder 3 Nullstellen sein müssen
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, da es 1 oder 3 Nullstellen sein müssen
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.