AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 3.1

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tiefe eines Gerinnes

Zur Vorbeugung vor Hochwassern wurde in einer Stadt ein Gerinne (Wasserlauf) angelegt. Die Funktion f beschreibt die Wassertiefe dieses Gerinnes bei einer Hochwasserentwicklung in Abhängigkeit von der Zeit t an einer bestimmten Messstelle für das Zeitintervall [0; 2]. Die Gleichung der Funktion f lautet \(f\left( t \right) = {t^3} + 6 \cdot {t^2} + 12 \cdot t + 8\,\,\,mit\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\)Dabei wird f(t) in dm und t in Tagen gemessen.

Aufgabenstellung
Geben Sie eine Gleichung der Funktion g an, die die momentane Änderungsrate der Wassertiefe des Gerinnes (in dm pro Tag) in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt!

g(t) =

AHS - 1_030 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Aussagen zum Integral

Nachstehend werden Aussagen zu Funktionen und deren Stammfunktionen angeführt.

• Aussage 1: Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
• Aussage 2: Die Stammfunktion einer Summe von zwei Funktionen f und g ist (abgesehen von Integrationskonstanten) gleich der Summe der Stammfunktionen von f und g
• Aussage 3: f ist immer eine Stammfunktion von f'.
• Aussage 4: Wenn \(\dfrac{{dF\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right)\), dann ist F eine Stammfunktion von f.
• Aussage 5: Für beliebige Funktionen f und g gilt: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {f\left( x \right)} \,\,dx \cdot \int {g\left( x \right)} \,\,dx\)

Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ableitungs- und Stammfunktion

Es sei f eine Polynomfunktion und F eine ihrer Stammfunktionen.

• Aussage 1: Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt: \(f(x) = F(x) + c\,\,(c \in {\Bbb R})\).
• Aussage 2: Eine Funktion f′ heißt Ableitungsfunktion von f, wenn gilt: \(\int {f(x)dx} = f'(x)\).
• Aussage 3: Wenn die Funktion f an der Stelle x₀ definiert ist, gibt \(f'({x_0})\) die Steigung der Tangente an den Graphen von f an dieser Stelle an.
• Aussage 4: Die Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden.
• Aussage:5: Wenn man die Stammfunktion F einmal integriert, dann erhält man die Funktion f.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

AHS - 1_032 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Stammfunktion

Es gilt die Aussage: „Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl c auch die durch G(x) = F(x) + c definierte Funktion G eine Stammfunktion von f.“ (Quelle: Wikipedia)

Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!

Ist die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f, dann gilt ______1______ . Gilt zudem _____2_____ , dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Beziehungen zwischen Funktion, Ableitungs- und Stammfunktion

Es sei f eine Polynomfunktion dritten Grades, f ′ ihre Ableitungsfunktion und F eine der Stammfunktionen von f.

Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!

Die zweite Ableitungsfunktion der Funktion ____1____ ist die Funktion ____2____ .

AHS - 1_009 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ableitungsfunktion einer linearen Funktion

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer linearen Funktion f dargestellt.

Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie die Ableitungsfunktion f' der Funktion f ein!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Stammfunktionen

Gegeben ist eine Stammfunktion F einer Polynomfunktion f: ℝ → ℝ.

Aufgabenstellung:
Zwei der nachstehenden Funktionen G₁ bis G₅ sind für alle c ∈ ℝ\{0} jedenfalls auch Stammfunktionen von f. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Funktionen an.

• Aussage 1: \({G_1} = c \cdot F\)
• Aussage 2: \({G_2} = c + F\)
• Aussage 3: \({G_3} = F - c\)
• Aussage 4: \({G_4} = c - F\)
• Aussage 5: \({G_5} = \dfrac{F}{c}\)

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Stammfunktion

Gegeben ist eine Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto f\left( x \right)\)

Die Funktion
\(g:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto g\left( x \right)\)ist eine Stammfunktion von f.

Für eine Funktion
\(h:{\Bbb R} \to {\Bbb R},x \mapsto h\left( x \right){\text{ und }}c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) gilt 
\(h\left( x \right) = g\left( x \right) + c\)

Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob h ebenfalls eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wachstum einer Pflanze

Zu Beginn eines dreiwöchigen Beobachtungszeitraums ist eine bestimmte Pflanze 15 cm hoch. Die momentane Änderungsrate der Höhe dieser Pflanze wird durch die Funktion v in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben. Dabei gilt:
\(v\left( t \right) = 3 - 0,3 \cdot {t^2}{\text{ mit }}t \in \left[ {0;3} \right]\) in Wochen und v(t) in cm/Woche

Die Funktion h ordnet jedem Zeitpunkt t ∈ [0; 3] die Höhe h(t) der Pflanze zu (t in Wochen, h(t) in cm).

Aufgabenstellung:
Geben Sie h(t) an.

h(t) =

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ableitungsfunktion und Stammfunktion

Es sei \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) eine Polynomfunktion.

Aufgabenstellung:
Zwei der folgenden Aussagen über die Funktion f treffen auf jeden Fall zu.

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.

• Aussage 1: Die Funktion f hat genau eine Stammfunktion F.
• Aussage 2: Die Funktion f hat genau eine Ableitungsfunktion f′.
• Aussage 3: Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: f′ = F.
• Aussage 4: Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: F″ = f′.
• Aussage 5: Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: \(\int\limits_0^1 {F\left( x \right)} \,\,dx = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)\)

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Stammfunktion

Gegeben ist eine Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^3}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\)

Aufgabenstellung
Bestimmen Sie a so, dass die Funktion
\(F:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}F\left( x \right) = 5 \cdot {x^4} - 2\)  eine Stammfunktion von f ist!
a= ___

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktionen

Die Funktionen g und h sind unterschiedliche Stammfunktionen einer Polynomfunktion f vom Grad n ≥ 1.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

• Aussage 1: \(g'\left( x \right) = h'\left( x \right)\)
• Aussage 2: \(g\left( x \right) + h\left( x \right) = c,\,\,\,\,\,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
• Aussage 3: \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right)} \,\,dx = f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right)\)
• Aussage 4: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = h\left( 2 \right) - h\left( 0 \right)\)
• Aussage 5: \(g\left( x \right) = c \cdot h\left( x \right),\,\,\,\,\,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)