Aufgabe 1006
AHS - 1_006 & Lehrstoff: AN 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkstoffe im Körper
Ein Patient, der an Bluthochdruck leidet, muss auf ärztliche Empfehlung ab sofort täglich am Morgen eine Tablette mit Wirkstoffgehalt 100 mg zur Therapie einnehmen. Der Körper scheidet im Laufe eines Tages 80 % des Wirkstoffs wieder aus.
Die Wirkstoffmenge Wn im Körper des Patienten nach n Tagen kann daher (rekursiv) aus der Menge des Vortags Wn–1 nach folgender Beziehung bestimmt werden: \({W_n} = 0,2 \cdot {W_{n - 1}} + 100;\,\,\,\,\,{W_0} = 100\,\,\,\left( {{{\text{W}}_{\text{i}}}{\text{ in mg}}} \right)\). In welcher Weise wird sich die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten langfristig entwickeln?
Aufgabenstellung:
Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Kreuzen Sie dazu in der ersten und der zweiten Spalte jeweils die passende Aussage an!
Die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten wird langfristig _____1______ , weil ______2_______ .
1 | |
unbeschränkt wachsen | A |
beschränkt wachsen | B |
wieder sinken | C |
I | der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr abbaut und damit der Abbau letztlich die Zufuhr übersteigt |
II | dem Körper täglich zusätzlicher Wirkstoff zugeführt wird, der nur zu 80 % abgebaut werden kann, und somit die Zufuhr im Vergleich zum Abbau überwiegt |
III | der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr davon abbaut, auch wenn der Prozentsatz gleich bleibt |
Lösungsweg
Veranschaulichen wir die Situation mit einer Wertetabelle:
Wirkstoffmenge Wn am Anfang des Tages | Während 24 Stunden abgebaute Menge | Restmenge, vor der Einnahme am nächsten Tag |
\({W_0} = 100\) | \({W_0}^{ - 24} = {W_0} \cdot 0,8 = 100 \cdot 0,8 = 80\) | \({W_0}^\prime = 100 \cdot 0,2 = 20\) |
\({W_1} = 0,2 \cdot {W_0} + 100 = 20 + 100 = 120\) | \({W_1}^{ - 24} = {W_1} \cdot 0,8 = 120 \cdot 0,8 = 96\) | \({W_1}^\prime = 120 \cdot 0,2 = 24\) |
\({W_2} = 0,2 \cdot {W_1} + 100 = 24 + 100 = 124\) | \({W_2}^{ - 24} = {W_2} \cdot 0,8 = 124 \cdot 0,8 = 99,2\) | \({W_2}^\prime = 124 \cdot 0,2 = 24,8\) |
\({W_3} = 0,2 \cdot {W_2} + 100 = 24,8 + 100 = 124,8\) | \({W_3}^{ - 24} = {W_3} \cdot 0,8 = 124,8 \cdot 0,8 = 99,84\) | \({W_3}^\prime = 124,8 \cdot 0,2 = 24,96\) |
\({W_4} = 0,2 \cdot {W_3} + 100 = 24,96 + 100 = 124,96\) | \({W_4}^{ - 24} = {W_4} \cdot 0,8 = 124,96 \cdot 0,8 \approx 100\) | \({W_4}^\prime = 124,992 \cdot 0,2 \approx 25\) |
\({W_5} = 0,2 \cdot {W_4} + 100 \approx 25 + 100 \approx 125\) |
Veranschaulichen wir die Situation mit einer Illustration:
Auf Grund obiger Wertetabelle können wir erkennen, dass sich die Wirkstoffmenge rasch einem Sättigungswert / einer Schranke von 125 mg nähert, also beschränkt wächst. → Aussage B
- ... das der Abbau letztlich die Zufuhr übersteigt, kann angesichts von (nur) 80 prozentigem Abbau und 100 prozentiger Zufuhr nicht sein ...
- ... wie wir obiger Wertetabelle entnehmen können überwiegt mittelfristig die Zufuhr (100 mg) nicht den Abbau (100 mg), sondern es stellt sich ein Gleichgewicht ein ...
- ... wird dem Körper absolut mehr zugeführt so wird bei 80 prozentigem Abbau auch absolut mehr abgebaut und so stellt sich letztlich ein Gleichgewicht ein ... → Aussage III
Die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten wird langfristig beschränkt wachsen , weil der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr davon abbaut, auch wenn der Prozentsatz gleich bleibt .
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten wird langfristig beschränkt wachsen , weil der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr davon abbaut, auch wenn der Prozentsatz gleich bleibt .
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.