Aufgabe 1351
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilung
In der untenstehenden Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsvariablen X mit den Parametern n = 6 und p = 0,5 durch ein Säulendiagramm (Säulenbreite = 1) dargestellt. μ bezeichnet den Erwartungswert von X.
Aufgabenstellung:
Schraffieren Sie diejenigen Rechtecksflächen, die P(X > μ) veranschaulichen!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Misserfolg / Erfolg. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt.
X heißt binomialverteilt mit den 2 Parametern n und p:
- n … Anzahl der Ziehungen bzw. der Wiederholungen vom Zufallsexperiment, wobei n ∈ N
- p ... Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X, bei jedem einzelnen der n Versuche, mit 0 < p < 1
- k ... Anzahl der Treffer, d.h. das Ereignis X tritt genau k mal ein, mit k=0, 1, 2, ... n
Für den Erwartungswert μ, bzw. e(X) einer Binomialverteilung gilt: \(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\). Bei n=6 und p=0,5 ergibt sich der Erwartungswert zu: \(\mu = n \cdot p = 6 \cdot 0,5 = 3\).
Die Säulen für k=4,5 und 6 entsprechen somit den Rechtecksflächen für \(P\left( {X{\rm{ }} > {\rm{ }}\mu = 3} \right)\)
Somit ergibt sich die gesuchte Illustration wie folgt:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede Lösung, die den Bereich P(X > 3) farbig hervorhebt oder deutlich kennzeichnet, ist als richtig zu werten.