Aufgabe 1790
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzfunktion
Gegeben ist eine Potenzfunktion
\(f:{\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = \dfrac{a}{{{x^2}}}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.
- Aussage 1: \(f\left( {\dfrac{1}{a}} \right) = 1\)
- Aussage 2: \(f\left( {x + 1} \right) = \dfrac{a}{{{x^2} - 2 \cdot x + 1}}\)
- Aussage 3: \(f\left( {2 \cdot x} \right) = \dfrac{a}{{4 \cdot {x^2}}}\)
- Aussage 4: \(f\left( {2 \cdot a} \right) = \dfrac{1}{{2 \cdot a}}\)
- Aussage 5: \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Indem wir einsetzen erhalten wir folgende Gleichungen bzw. Ungleichungen:
- Aussage 1: Falsch, weil
\(f\left( {x = \dfrac{1}{a}} \right) = \dfrac{a}{{{{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)}^2}}} = {a^3} \ne 1\)
- Aussage 2: Falsch, weil
\(f\left( {x + 1} \right) = \dfrac{a}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{a}{{{x^2} + 2x + 1}} \ne \dfrac{a}{{{x^2} - 2 \cdot x + 1}}\)
- Aussage 3: Richtig, weil
\(f\left( {2 \cdot x} \right) = \dfrac{a}{{{{\left( {2 \cdot x} \right)}^2}}} = \dfrac{a}{{4 \cdot {x^2}}}\,\,\,{\text{wzbw}}\)
- Aussage 4: Falsch, weil
\(f\left( {x = 2a} \right) = \dfrac{a}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \dfrac{a}{{4 \cdot {a^2}}} = \dfrac{1}{{4 \cdot a}} \ne \dfrac{1}{{2 \cdot a}}\)
- Aussage 5: Richtig, weil
\(f\left( { - x} \right) = \dfrac{a}{{{{\left( { - x} \right)}^2}}} = \dfrac{a}{{{x^2}}}{\text{ wzbw}}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.