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Aufgabe 1769
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bewegung auf einem Kreis
Ein Punkt P bewegt sich auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 | 0) mit konstanter Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn. Zu Beginn der Bewegung (zum Zeitpunkt t = 0) liegt der Punkt P auf der positiven x-Achse wie in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Bild
Die Funktion f ordnet der Zeit t die zweite Koordinate \(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot t} \right)\) des Punktes P zur Zeit t zu (t in s, f(t) in dm, a, b ∈ ℝ+). Der in der nachstehenden Abbildung dargestellte Graph von f verlauft durch den Punkt H, wobei gilt:
Bild
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Radius des Kreises und die Umlaufzeit des Punktes P (für eine Umrundung).
- Radius des Kreises: dm
- Umlaufzeit: s
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.
- Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
- Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung. Um diese geht es in diesem Beispiel
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang:
Bild
Wir können der Illustration folgende Zusammenhänge für den Radius r und die Umlaufzeit tU entnehmen:
Der Punkt P läuft am Kreis entgegen dem Uhrzeigersinn um. Eine spezielle Position vom Punkt P - genau nach einer Viertel Umdrehung - wurde in der Angabe herausgegriffen und mit H benannt.
- H ist die Amplitude der Sinusschwingung und es muss gelten: \(r = {H_y} = 4\)
- An der Position H hat der Punkt P ein Viertel vom Kreisumfang zurückgelegt und hat dafür ein Viertel der Periodendauer benötigt. Es muss daher gelten: \(\dfrac{{{t_U}}}{4} = {H_x} = 1,5 \to {t_U} = 4 \cdot 1,5 = 6\)
Somit können wir die gesuchten Lösungen wir folgt anschreiben:
- Radius des Kreises: 4 dm
- Umlaufzeit: 6 s
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Radius des Kreises: 4 dm
- Umlaufzeit: 6 s
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte. Ist nur einer der angegebenen Werte richtig, ist ein halber Punkt zu geben.