Aufgabe 1717
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schwingung einer Saite
Die Frequenz f der Grundschwingung einer Saite eines Musikinstruments kann mithilfe der nachstehenden Formel berechnet werden.
\(f = \dfrac{1}{{2 \cdot l}} \cdot \sqrt {\dfrac{F}{{\rho \cdot A}}} \)
l | Länge der Saite |
A | Querschnitt der Saite |
\(\rho \) "Rho" | Dichte des Materials der Saite |
F | Kraft, mit der die Saite gespannt ist |
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie die Lange l einer Saite zu ändern ist, wenn die Saite mit einer doppelt so hohen Frequenz schwingen soll und die anderen Größen (F, ϱ , A) dabei konstant gehalten werden.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir halten uns nicht mit einer physikalischen Interpretation der Gleichung auf, sondern fassen den Faktor 2 und die konstanten Größen F, ϱ , A zu einer gemeinsamen Konstanten c zusammen:
\(\eqalign{
& f = \dfrac{1}{{2 \cdot l}} \cdot \sqrt {\dfrac{F}{{\rho \cdot A}}} \cr
& f = \dfrac{1}{l} \cdot \left( {\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {\dfrac{F}{{\rho \cdot A}}} } \right) \cr
& f = \dfrac{1}{l} \cdot c = \dfrac{c}{l} \cr} \)
Wir haben somit die Gleichung auf \(f = \dfrac{c}{l}\) vereinfacht. Nun soll die neue Frequenz doppelt so hoch wie die anfängliche Frequenz sein:
\(\eqalign{
& f \to {f_n} = 2 \cdot f = 2 \cdot \dfrac{c}{l} \cr
& Gl.1:{f_n} = 2 \cdot \dfrac{c}{l} \cr} \)
Um die neue Frequenz zu ermöglichen ist auch eine neue Saitenlänge ln erforderlich:
\(\eqalign{
& l \to {l_n} \cr
& Gl.2:{f_n} = \dfrac{c}{{{l_n}}} \cr} \)
Durch das Gleichsetzen der beiden Gleichungen für fn erhalten wir:
\(
\eqalign{
& \dfrac{c}{{{l_n}}} = 2 \cdot \dfrac{c}{l}\,\,\,\,\,\left| {:2} \right. \cr
& \dfrac{c}{{2 \cdot {l_n}}} = \dfrac{c}{l}\,\,\,\,\,\left| { \cdot l\,\,\,\,\,\left| { \cdot {l_n}} \right.} \right. \cr
& \dfrac{{c \cdot l}}{2} = c \cdot {l_n}\,\,\,\,\,\left| c \right. \cr
& \dfrac{l}{2} = {\operatorname{l} _n} \cr} \)
Die neue Länge ist halb so lang wie die alte Länge. D.h.: Will man die Frequenz verdoppeln, so muss man die Saite halbieren. Wir haben somit auch gezeigt, dass indirekte Proportionalität vorliegt, denn zum x-fachen der einen Größe gehört das 1/x fache der anderen Größe.
→ Wenn die Größen (F, ϱ , A) konstant gehalten werden, ist die Länge l einer Saite zu halbieren, damit die Saite mit einer doppelt so hohen Frequenz schwingt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Wenn die Größen (F, ϱ , A) konstant gehalten werden, ist die Länge l einer Saite zu halbieren, damit die Saite mit einer doppelt so hohen Frequenz schwingt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.