Aufgabe 1673
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winkelfunktionen
In der unten stehenden Abbildung sind die Graphen der Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen
\(f\left( x \right) = \sin \left( x \right){\text{ und }}g\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) dargestellt.
Für die in der Abbildung eingezeichneten Stellen a und b gilt: cos(a) = sin(b).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie \(k \in {\Bbb R}\) so, dass \(b - a = k \cdot \pi \)
Lösungsweg
Die Phasenverschiebung zwischen zwischen einer reinen Sinus- und einer reinen Kosinusschwingung beträgt grundsätzlich \(90^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{\pi }{2}\). Die Funktionswerte an den Stellen a und b sind daher um \(90^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{\pi }{2}\) phasenverschoben und es gilt \(b - a = \dfrac{\pi }{2}\).
Gemäß der Aufgabenstellung muss weiters gelten: \(b - a = k \cdot \pi \). Man kann daher die beiden Gleichungen für b-a gleichsetzen und k errechnen:
\(b - a = \dfrac{\pi }{2} = k \cdot \pi \to k = \dfrac{1}{2}\)
→ \(k = \dfrac{1}{2}\)
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(k = \dfrac{1}{2}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.