Aufgabe 1647
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Gegeben ist eine Polynomfunktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
wobei \(\left( {a,b,c,d \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,a \ne 0} \right)\)
Aufgabenstellung:
Nachstehend sind Aussagen über die Funktion f gegeben. Welche dieser Aussagen trifft/treffen für beliebige Werte von a ≠ 0, b, c und d auf jeden Fall zu? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
- Aussage 1: Die Funktion f hat mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
- Aussage 2: Die Funktion f hat höchstens zwei lokale Extremstellen.
- Aussage 3: Die Funktion f hat höchstens zwei Punkte mit der x-Achse gemeinsam.
- Aussage 4: Die Funktion f hat genau eine Wendestelle.
- Aussage 5: Die Funktion f hat mindestens eine lokale Extremstelle.
Lösungsweg
Bei der gegebenen Funktion handelt es sich um eine kubische Funktion bzw. um ein Polynom 3. Grades. Für diese Funktionen gilt ganz allgemein: Sie haben 1, 2 oder 3 Nullstellen, 0 oder 2 Extremstellen, 1 Wendestellen und der Graph verläuft s-förmig.
Mit diesen Infos ausgestattet machen wir uns an die Beantwortung der Fragen
- Aussage 1: Richtig, weil ein „Schnittpunkt mit der x-Achse“ eine Nullstelle ist und kubische Funktionen mindestens 1. Nullstelle haben
- Aussage 2: Richtig, weil kubische Funktionen 0 oder 2 Extremstellen, und somit „höchsten zwei lokale Extremstellen“ haben
- Aussage 3: Falsch, weil „höchstens zwei Punkte mit der x-Achse“ gleichbedeutend mit „höchstens 2 Nullstellen ist. Kubische Funktionen können aber auch 3 Nullstellen haben.
- Aussage 4: Richtig, wobei der Wendepunkt jener Punkt ist, an dem die Funktion f(x) die stärkste Steigung hat. Der Wendepunkt liegt dort, wo die 2. Ableitung (das ist dann eine Gleichung 1. Grades) ihre Nullstelle hat.
- Aussage 5: Falsch, weil eine kubische Funktion 0 oder 2 Extremstellen hat und somit auch weniger „als eine lokale Extremstelle“ haben kann. Extremstellen liegen an jenen Stellen vor, wo die 1. Ableitung ihre Nullstellen hat. Die 1. Ableitung ist eine Gleichung 2. Grades und die hat entweder 2 reelle oder 2 konjugiert komplexe Lösungen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.