Aufgabe 1645
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Volumen eines Drehzylinders
Das Volumen eines Drehzylinders kann als Funktion V der beiden Größen h und r aufgefasst werden. Dabei ist h die Hohe des Zylinders und r der Radius der Grundfläche.
Aufgabenstellung:
Verdoppelt man den Radius r und die Höhe h eines Zylinders, so erhalt man einen Zylinder, dessen Volumen x-mal so groß wie jenes des ursprünglichen Zylinders ist.
Geben Sie x an!
Lösungsweg
Das Volumen eines Zylinders ergibt sich aus Grundfläche A mal Höhe h. Die Grundfläche ist ein Kreis gemäß \(A = {r^2} \cdot \pi \) . Somit gilt für das Volumen vom Ausgangszylinder:
\({V_{Z1}} = {r^2} \cdot \pi \cdot h\)
Nun berechnen wir das Volumen eines 2. Zylinders mit doppeltem Radius und doppelter Höhe:
\(\eqalign{
& r \to 2 \cdot r \cr
& h \to 2 \cdot h \cr
& {V_{Z2}} = {\left( {2 \cdot r} \right)^2} \cdot \pi \cdot \left( {2 \cdot h} \right) = 8 \cdot \left( {{r^2} \cdot \pi \cdot h} \right) = 8 \cdot {V_{Z1}} \cr
& \to x = 8 \cr} \)
Anmerkung: Die 2. Klammer haben wir nur zur Veranschaulichung gesetzt, ohne mathematischer Notwendigkeit…
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
x=8
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.