Aufgabe 1577
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodizität
Gegeben ist eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = 3 \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right){\text{ mit }}b \in {\Bbb R}\)
- Aussage 1: \(\dfrac{b}{2}\)
- Aussage 2: \(b\)
- Aussage 3: \(\dfrac{b}{3}\)
- Aussage 4: \(\dfrac{\pi }{b}\)
- Aussage 5: \(\dfrac{{2\pi }}{b}\)
- Aussage 6: \(\dfrac{\pi }{3}\)
Aufgabenstellung:
Einer der obenstehend angegebenen Werte gibt die (kleinste) Periodenlange der Funktion f an. Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an!
Lösungsweg
Der Faktor a=3 wirkt sich nur auf die Amplitude der Funktion aus und kann daher für die weitere Betrachtung außer Acht gelassen werden.
Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse.
- b=1 → Periodendauer \(T = 2\pi\)
- b=2 → Periodendauer \(T = \pi \) ⇒ Die Periodendauer ist halb so lang, die Frequenz ist doppelt so hoch
- b → Periodendauer \(T = \dfrac{{2\pi }}{b}\)
Die Periodenlänge einer Sinusfunktion, die weder gestreckt noch gestaucht ist (b=1), beträgt \(2\pi \), somit gilt: \(b \cdot x = 2\pi \Rightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{b}\) ⇒ Aussage 5
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Wert angekreuzt ist.