Aufgabe 1534
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Steigende Funktion
Gegeben sind fünf Funktionen.
- Aussage 1: Lineare Funktion f mit Funktionsgleichung \(f(x) = a \cdot x + b\) mit \((a > 0,b > 0)\)
- Aussage 2: Potenzfunktion f mit Funktionsgleichung \(f(x) = a \cdot {x^n}\) mit \((a < 0,n \in {\Bbb N},n > 0)\)
- Aussage 3: Sinusfunktion f mit Funktionsgleichung \(f(x) = a \cdot \sin (b \cdot x)\) mit \((a > 0,b > 0)\)
- Aussage 4: Exponentialfunktion f mit Funktionsgleichung \(f(x) = a \cdot {e^{k \cdot x}}\) mit \((a > 0,k < 0)\)
- Aussage 5: Exponentialfunktion f mit Funktionsgleichung \(f(x) = c \cdot {a^x}\) mit \((a > 1,c > 0)\)
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehenden Funktionen f sind in jedem Intervall \([{x_1};{x_2}]\) mit \(0 < {x_1} < {x_2}\) streng monoton steigend? Kreuzen Sie die zutreffenden Funktionen an!
Lösungsweg
Eine Funktion f ist in jedem beliebigen Intervall \([{x_1};{x_2}]\) mit \(0 < {x_1} < {x_2}\) genau dann streng monoton steigend, wenn gilt, dass \(f({x_1}) < f({x_2})\). Können wir auch nur einen Punkt finden, an dem diese Definition nicht gilt. so ist die Funktion somit nicht streng monoton steigend.
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil der Graph einer linearen Funktion eine Gerade mit der Steigung k (bzw. a) ist. Lt. Angabe ist a > 0 → Steigung ist positiv → Die Funktion ist streng monoton steigend.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil für n=1 erhalten wir eine lineare Funktion mit negativer Steigung (weil a<0). Daher wäre diese Gerade streng monoton fallend.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil die Sinusfunktion eine periodische Funktion ist, die in manchen Intervallen streng monoton steigend, in anderen aber wieder streng fallend ist. Ein Vielfaches des Winkels x (b>0) bewirkt nur eine Stauchung entlang der x-Achse, das Vielfache a des Funktionswerts bewirkt nur eine vergrößerte Amplitude.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil für k<0 und a>0 ist diese Funktion streng monoton fallend.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil für a>0 und c>0 mit steigendem x auch f(x) steigen muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Funktionen angekreuzt sind.