Aufgabe 1484
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzfunktionen
Gegeben sind die Graphen von vier verschiedenen Potenzfunktionen f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) sowie sechs Bedingungen für den Parameter a und den Exponenten z. Dabei ist a eine reelle, z eine natürliche Zahl.
Aussage A | \(a > 0,\,\,z = 1\) |
Aussage B | \(a > 0,\,\,z = 2\) |
Aussage C | \(a > 0,\,\,z = 3\) |
Aussage D | \(a < 0,\,\,z = 1\) |
Aussage E | \(a < 0,\,\,z = 2\) |
Aussage F | \(a < 0,\,\,z = 3\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen 1..4 jeweils die entsprechende Aussage (aus A bis F) für den Parameter a und den Exponenten z der Funktionsgleichung zu!
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Lösungsweg
Wir haben es bei \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) also mit einer Potenzfunktion zu tun, wobei wie folgt gilt:
- gerader Exponent → gerade Funktion → Graph der Funktion ist zur y-Achse symmetrisch
- ungerader Exponent → ungerade Funktion → Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Wir überprüfen durch einsetzen, was die jeweiligen Aussagen über a und z für den jeweiligen Verlauf vom Graph der gegebenen Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) bedeutet.
- Aussage A: \(a > 0,\,\,z = 1\) → \(f\left( x \right) = a \cdot {x^1} = a \cdot x\) Das ist eine lineare Funktion \(f\left( x \right) = a \cdot x + d\) mit der Steigung a und mit d=0, dh der Graph wäre eine Gerade durch den Ursprung, die wegen a>0 nach rechts oben ansteigt
- Aussage B: \(a > 0,\,\,z = 2\) → \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\) Das ist eine quadratische Funktion. Der 1. Faktor a ist laut Angabe immer positiv, der 2. Faktor muss wegen des Quadrats auch immer positiv sein. Daher muss der Graph im 2. Quadranten abfallen, durch den Ursprung verlaufen und im 1. Quadranten wieder ansteigen. ⇒ Graph f3
- Aussage C: \(a > 0,\,\,z = 3\) → \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3}\) Das ist eine Funktion vom 3. Grad. Der 1. Faktor a ist laut Angabe immer positiv, der 2. Faktor ist für x<0 negativ (also im 3. Quadranten, für x=0 ist er Null (Ursprung) und für x>0 ist er positiv (also im 1. Quadranten.) ⇒ Graph f4
- Aussage D: \(a < 0,\,\,z = 1\) → \(f\left( x \right) = a \cdot {x^1} = a \cdot x\) Das ist eine lineare Funktion mit der Steigung a und mit d=0, dh der Graph wäre eine Gerade durch den Ursprung, die wegen a<0 nach rechts unten abfällt.
- Aussage E: \(a < 0,\,\,z = 2\) → \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\) Das ist eine quadratische Funktion. Der 1. Faktor a ist laut Angabe immer negativ, der 2. Faktor muss wegen des Quadrats immer positiv sein. Daher muss der Graph im 3. Quadranten ansteigen, durch den Ursprung verlaufen und im 4. Quadranten wieder abfallen. ⇒ Graph f1
- Aussage F: \(a < 0,\,\,z = 3\) → \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3}\) Das ist eine Funktion vom 3. Grad. Der 1. Faktor a ist laut Angabe immer negativ.
- Der 2. Faktor ist für x<0 negativ (negativ x negativ = positiv) → Q2.
- Der 2. Faktor ist für x=0 Null → Ursprung.
- Der 2. Faktor ist für x>0 positiv (negativ x positiv = negativ) → Q4
⇒ Graph f2
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Graph 1: Aussage E
- Graph 2: Aussage F
- Graph 3: Aussage B
- Graph 4: Aussage C
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich die richtige Option zugeordnet ist.